¿Cómo afecta la serie armónica a la consonancia?

Primero necesitamos categorizar cada intervalo, asignarle una "cantidad de consonancia". Ese es el primer problema que encontramos. En el caso de la cuarta, por ejemplo, unos la consideran consonancia perfecta , y otros la consideran una disonancia , según el contexto (y a quién le preguntes).

Para simplificar, definamos el nuestro basándonos en Wikipedia:

1: Consonancias perfectas: unísono, octava, cuarta, quinta.
2: Consonancias imperfectas: tercera mayor, tercera menor, sexta mayor, sexta menor
3: Disonancias: segunda menor, segunda mayor, tritono, séptima menor, séptima mayor

1) ¿En qué medida la primera aparición de un armónico en la serie de armónicos afecta la consonancia del intervalo de 12 TET al que corresponde?

El problema aquí con "que corresponde" es que algunos armónicos no estarán muy cerca de su intervalo "correspondiente". La diferencia puede ser tan grande como 40-50 centavos, que es la diferencia máxima antes de que el armónico esté más cerca de otro intervalo. Es más un "medio" que ese intervalo particular en ese punto.

Pero ignoremos eso. Aquí está el orden en que aparecen los intervalos en la serie armónica, el lugar en que aparecen y la diferencia entre el intervalo y el armónico en centésimas:

Intervalo 1ra Aparición Diferencia
----------------------------------------
raíz 1 0.0
quinto 3 1.9
tercera mayor 5 13.7
séptima menor 7 31.2
segunda mayor 9 3.9
tritono 11 48.7
sexta menor 13 40.5
séptima mayor 15 11.7
segunda menor 17 5.0
tercera menor 19 2.5
cuarto 21 29.2
sexta mayor 27 5.9

Los dos primeros intervalos que aparecen en la serie armónica son consonancias perfectas. La tercera es una consonancia imperfecta. Hasta aquí todo bien. Pero aquí llegamos a un alto. Los intervalos cuarto, quinto y sexto son todos disonantes, pero aparecen bastante temprano en la serie armónica (armónico 7, 9 y 12 respectivamente). También vale la pena señalar que la sexta mayor, una consonancia imperfecta, es el último intervalo en aparecer.

Aparte de los primeros 3 intervalos que aparecen en la serie armónica (raíz, quinta y tercera mayor), parece que no existe una relación fuerte. El orden está por todas partes en relación con su "cantidad de consonancia". Me parece que la primera aparición en la serie armónica no afecta la consonancia del intervalo (considerando las restricciones de la pregunta: intervalo = intervalo más cercano al armónico y 12-TET).

Como Bradd Szonye mencionó en los comentarios, vale la pena sumergirse en la relación de intervalo entre armónicos. Aquí, a medida que avanzamos en la serie armónica, el intervalo entre armónicos se vuelve cada vez más pequeño, convergiendo rápidamente en un intervalo, comenzando con la tercera menor, hasta el sexto armónico. Así que veamos los primeros 6 armónicos.

1-2 raíz
2-3 quinto
3-4 cuarto
4-5 tercera mayor
5-6 tercera menor

Aquí vemos la cuarta y la tercera menor. No sé si "aparecen temprano" tiene algún significado aquí, dados los pocos armónicos que podemos analizar antes de que converjan cada vez más en un intervalo. Lo que puede ser significativo es el hecho de que aparecen, y todas ellas son consonantes. De hecho, si consideramos sus inversiones, esos 6 armónicos cubren todas las consonancias perfectas e imperfectas.

En este caso, vemos una fuerte relación. Las disonancias no aparecen en los intervalos entre armónicos (entre n armónico y n+1) en el rango de preconvergencia.

2) Si la serie de armónicos está relacionada con la consonancia como se menciona en el n.° 1, ¿en qué medida esta consonancia está reforzada por un armónico que aparece repetidamente en la serie de armónicos?

Llegamos a la conclusión de que no están fuertemente relacionados, pero veamos los datos de todos modos.

Primero necesitamos decidir cuántos armónicos consideraremos. Si profundiza lo suficiente, encontrará que varios armónicos consecutivos "pertenecerán" (estarán más cerca) del mismo intervalo, por lo que tal vez sea una buena idea detenerse antes de que eso suceda. Además, cuanto mayor sea el armónico, menor será la amplitud (en general, considere una onda de diente de sierra por simplicidad), por lo que los armónicos más altos no tendrán tanto impacto como los primeros.

No hay una manera bonita de evitar este problema. El tritono aparece consecutivamente en los armónicos 22 y 23, y la sexta menor aparece consecutivamente en los armónicos 25 y 26, pero la sexta mayor no aparece hasta el armónico 27, por lo que limitar el análisis al armónico 22 lo excluiría. Pero eso es lo que vamos a hacer para evitar apariciones consecutivas.

Aquí están los intervalos y la frecuencia en que aparecen en la serie armónica, primeros 22 armónicos:

raíz 5.0
quinto 3.0
tercera mayor 3.0
séptima menor 2.0
segunda mayor 2.0
tritono 2.0
sexta menor 1.0
séptima mayor 1.0
segunda menor 1.0
tercera menor 1.0
cuarto 1.0
sexta mayor 0.0

Nuevamente, la raíz, la quinta y la tercera mayor están en la parte superior, y nuevamente vemos que las disonancias aparecen temprano. Nuevamente, vemos consonancias en los últimos lugares. Tampoco parece haber una relación fuerte aquí, con las excepciones (nuevamente) de raíz, quinta y tercera mayor.

3) Si la serie de armónicos está relacionada con la consonancia como se menciona en el #1, ¿en qué medida la inversión de uno de los armónicos corresponde a la consonancia?

No debería hacer una diferencia en nuestra categorización actual. Todos los inversos corresponden a un intervalo de la misma categoría.

Consonancias perfectas:
P5 - P5

Consonancias imperfectas:
M3-m6
m3 - M6

Disonancias:
tri-tri
m2 - M7
M2-m7

4) Me han desafiado antes cuando he dicho que cuanto más alto es el sobretono, menos significativo es, porque los sobretonos se vuelven menos audibles a medida que aumentan más y más. ¿Es cierto o no que los armónicos se vuelven menos audibles a medida que aumentan?

Eso depende. Puede sintetizar un sonido con cualquier relación armónica que se le ocurra. Pero sí, los sonidos menos exóticos tendrán esa tendencia, cuanto mayor sea el armónico menor será la amplitud. No es una constante, esta tendencia comúnmente se rompe: algunos armónicos más altos pueden tener una amplitud más alta que algunos armónicos más bajos. Es posible que algunos armónicos más bajos ni siquiera estén presentes, ya que algunos instrumentos cancelan o atenúan armónicos específicos.

Es una tendencia, no una constante, hay muchas excepciones. Tal vez por eso te cuestionaron.

saxo alto:

Guitarra de nailon:

Trompeta:

tambor de caja:

Si es así, ¿no significa esto que los armónicos más bajos son más importantes?

Cuanto menos amplitud tiene un armónico, menos se suma al sonido. Entonces, los armónicos de mayor amplitud agregan más al sonido, son "más importantes". Como los armónicos de baja frecuencia tienden a tener más amplitud, también habrá una tendencia a que los armónicos de baja frecuencia sean "más importantes", pero no es necesariamente el caso, ya que los armónicos de baja frecuencia no siempre tienen mayor amplitud que otros armónicos de alta frecuencia.

Sería más exacto decir "los armónicos de mayor amplitud son más importantes".

¿Se ha realizado alguna investigación sobre la amplitud de varios armónicos (por ejemplo, dado un determinado instrumento, como una guitarra o un piano) y el punto en el que esa amplitud es tan baja que los humanos no pueden oírla?

Interesante pregunta. No conozco ningún estudio en particular, pero puedes hacerlo tú mismo.

Utilice un filtro de paso alto muy pronunciado (corte bajo) y aumente la frecuencia de corte hasta que no pueda percibir ningún sonido. Ahí es donde dejaste de escuchar la serie armónica en esa amplitud específica. Ahora comprueba la frecuencia de corte y la fundamental del sonido que filtraste. Divida la frecuencia de corte por la fundamental y esa es aproximadamente la cantidad de armónicos que pudo escuchar.

Sin embargo, eso no tiene que ver con el enmascaramiento y otras dinámicas. Tal vez otro experimento que puedas hacer sea el contrario. Utilice un paso bajo muy pronunciado (corte alto) y disminuya la frecuencia de corte hasta que perciba que el sonido está cambiando. Si no percibe un cambio, significa que esos armónicos (si los hay) no están agregando algo al sonido (al menos para sus oídos). Cuando perciba el cambio más pequeño, haga lo mismo: divida la frecuencia de corte por la fundamental y esa es aproximadamente la cantidad de armónicos que fueron lo suficientemente "importantes" para que escuche un cambio.

Luego puede verificar la amplitud de esos armónicos alrededor de la frecuencia de corte en relación con la fundamental con un analizador de armónicos.

Me pregunto si los dos experimentos arrojan resultados similares.

Para sus puntos específicos:

1) Para la mayoría/todos* los instrumentos, la amplitud de los parciales disminuye a medida que aumenta el número de parciales (es decir, la frecuencia aumenta). Así, para casi todos los sonidos musicales hay "más de" la (primera) octava y la quinta y menos de los armónicos superiores. Así que agregar un segundo sonido cuya fundamental esté en uno de los armónicos más bajos refuerza algo que "ya está allí", es decir, bastante fácilmente perceptible. Agregar una nueva nota cuya fundamental está en uno de los parciales más altos "resalta algo nuevo", es decir, menos consonante.

Considere los intervalos con entonación justa en orden de denominador creciente:

  unísono | 1/1
  rendimiento 5to | 3/2
  rendimiento 4to | 4/3
  comandante. 6to | 5/3
  comandante. 3º | 5/4
[ mín. 7°*| 7/4 (7º armónico)]
  mín. 3º | 6/5
  mín. 6to | 8/5
  comandante. 2do | 9/8
  comandante. 7mo | 15/8 (JI de 5 límites)
  mín. 7mo | 16/9 (JI de 5 límites)
  mín. 2do | 16/15     

Si ignora el tono relacionado con el séptimo armónico como un caso especial, estos están más o menos en orden de grado de consonancia. Considere los armónicos en la parte superior de cada uno de estos tonos, por ejemplo, para el rendimiento. quinta será 3/2,3,9/2,6..., todos los demás armónicos de esta nota ya están presentes en la serie armónica de la fundamental (que, en esta representación tiene frecuencias de 1,2,3, 4,...). Del mismo modo, uno de cada tres armónicos de la 4ª justa y las 6ª mayores ya estarán presentes en la serie de armónicos de la fundamental. En este sentido, agregar una nota en un intervalo consonante está reforzando el contenido armónico que ya está presente en la fundamental en mayor medida que las notas en intervalos disonantes.

También hay un problema práctico para los instrumentos no sintetizados: los parciales no son exactamente múltiplos enteros de la fundamental; estas inarmónicas surgen debido a las características físicas y limitaciones del instrumento. Por lo tanto, tratar de hacer coincidir un parcial alto dado con otra nota producida por un instrumento diferente probablemente fallará, y terminará con dos frecuencias cercanas entre sí pero ligeramente diferentes, y por lo tanto escuchará cómo golpean entre sí, lo que lleva a percibir. disonancia.

2) Formalmente, hay un número infinito de cada parcial; sin embargo, como se mencionó anteriormente, la amplitud de los más altos es menor que las amplitudes de los más altos; por lo tanto, la primera aparición es el indicador más importante de cuán significativo es un parcial dado.

3) En este contexto, una forma de pensar acerca de las inversiones es que "los armónicos de la nota más alta coinciden con los armónicos de la más baja", tome el 4º GC perfecto, el parcial correspondiente a una quinta musical (a una frecuencia 3 veces el original) de la fundamental C coincide con uno de los parciales de octava de la G.

4) Para la mayoría/todos* los instrumentos musicales, la amplitud de los armónicos más altos es mucho más baja que la de los armónicos más bajos; aquí me refiero a una nota mantenida en estado estacionario. El ataque inicial transitorio, si se analiza por sí mismo, puede mostrar una variedad de contenido de alta frecuencia que no está relacionado con la nota de estado estable. Una búsqueda en "violín de espectro de frecuencia", por ejemplo, arrojó una serie de páginas (algunas de las cuales) incluyen el espectro de potencia de un violín medido, por lo tanto, con una pequeña búsqueda, debería poder encontrar información representativa sobre cualquier instrumento de su elección. Casi cualquier libro sobre acústica musical, por ejemplo, Music Physics and Engineering (H. Olson), probablemente también tendrá diagramas espectrales similares.

Una fuente importante de disonancia es el latido físico entre pares de frecuencias estrechamente espaciadas ; los enlaces en esta entrada de wikipedia sobre la base fisiológica de la consonancia deben proporcionar un indicador de la investigación en esta área. Otro punto importante es que (a excepción de los sonidos sintetizados) existen inarmonicidades en los sobretonos de una nota musical; los sobretonos no son exactamente múltiplos enteros de la fundamental. Entonces, ¿qué sucede cuando toca dos notas cuyo intervalo musical corresponde a uno de los parciales más altos? Ellos (y todos sus parciales) tienden a fallar entre sí por una pequeña cantidad; esto conduce a un latido de amplitud perceptible, y esto se percibe como disonancia.

Todavía no lo he trabajado por completo, pero The Harmonic Experience de WA Mathieu cubre los aspectos de cómo se relacionan las relaciones armónicas recién entonadas integrales con la física del sonido con la práctica moderna del temperamento igual.

• No puedo pensar en un contraejemplo en el que las amplitudes de los parciales no disminuyan a medida que aumenta la frecuencia. Estoy seguro de que alguien, en algún lugar, ha sintetizado sonidos con esta propiedad, pero incluso la mayoría de los parches de sintetizador estándar tienen esta función.

Todas estas son excelentes respuestas. Una pequeña arruga: cuando el tono fundamental es muy bajo, es decir, en el registro de subgraves (20-60 Hz), a menudo escuchamos mucho más los sobretonos más altos que el fundamental o el primer parcial. La sensibilidad del oído humano cae drásticamente cuando la frecuencia cae por debajo de los 200 Hz.

Cuando toca la nota más baja en un piano de cola (aproximadamente 27 Hz), la mayor parte de lo que escucha son parciales superiores.

Los investigadores en psicoacústica y psicología musical han estado estudiando esto durante mucho tiempo. Creo que Plomp y Levitt demostraron que, con los intervalos, si tomas solo lo fundamental, la disonancia del intervalo simplemente disminuye con el tamaño del intervalo (m2, M2, m3, M3... M7...) pero si los armónicos de cada nota son agregado, eventualmente obtienes el rango de disonancia de intervalo bien establecido de (creo, ¡soy demasiado perezoso para levantarme!) m2> M2> A4> m6> m7> M6> P4> P5> P8.

Luego, todo el problema se intensifica cuando intentan comprender la clasificación de disonancia, según los estudios de respuesta del oyente y la frecuencia de uso, de 3 tonos (tríadas): Maj>min>disminuido>aumentado. Debido al reconocimiento de patrones de la serie armónica (evolucionamos escuchándolo), existen fenómenos como la fusión tonal donde la fundamental de una serie la proporcionará el sistema auditivo aunque no esté presente, ya que completa el patrón (gestáltico).

Creo que el mayor misterio en este campo es explicar la consonancia de la tríada menor, que no aparece, de forma destacada, en la serie armónica. Consulte a expertos como Richard Parncutt y Norman CooK.