¿Dónde está G?

¡Sí, si no mucho más de 7 cuando considera tonos fuera de la escala diatónica y variaciones en A440!

Al "desviarse un poco para hacer que una nota suene más afinada", estás hablando solo de entonación.

En temperamento igual de 12 tonos, en do mayor, digamos que do es nuestro "punto cero". Para la discusión subsiguiente, todos los lanzamientos se basan en este 12TET donde C es "0 centavos"; la G arriba será 700 centavos más alta.

En 12TET, este G de quinta perfecta es un poco bajo en aproximadamente 2 centavos. Entonces, el G justamente afinado en realidad será de alrededor de 702 centavos.

(Aparte, tenga en cuenta que las inversiones interválicas invierten la diferencia. Mientras que una quinta justa afinada es 2 centésimas más alta que 12TET, la cuarta justa afinada es 2 centésimas más baja ).

Pero ahora, cambiando a mi bemol mayor (la tónica ahora cuesta 300 centavos), G es nuestra tercera mayor. En 12TET, la tercera mayor (400 centésimas más alta que la tónica) tiene en realidad unas 14 centésimas agudas; nuestro G justamente afinado es en realidad alrededor de 686 centavos.

¡Pero se vuelve más extraño! Estamos en Mi menor (la tónica cuesta 400 centavos) y G es la tercera menor . En 12TET, eso es 300 centavos más que la tónica, pero es aproximadamente 16 centavos más bajo que la tercera menor justamente afinada, que estaría afinada en 716 centavos.

Especialmente interesante es que nuestro Sol, cuando es la tercera mayor justamente afinada, es en realidad unas 30 centésimas más baja que el Sol cuando es una tercera menor justamente afinada , ¡una diferencia de más de un cuarto de tono! (Esto supone que los dos tonos tónicos de E y E♭ están separados exactamente por 100 centésimas).

La siguiente tabla que encontré parece precisa, aunque aún no he verificado todo:

¿Significa eso que, por ejemplo, G, en la clave G, estará en un lugar, pero en la clave Eb, donde G es M3, será ligeramente diferente, y en Ab, donde es la nota principal, será volver a ser diferente? ¿Significa que existe la posibilidad de que G viva en siete lugares diferentes?

No, es peor que eso. La ubicación de cualquier nota puede cambiar en una sola tecla, en una sola pieza y en una sola frase. Es decir, no depende tanto de la tonalidad de una pieza como del contexto armónico de cada nota. Considere que G en el contexto de una pieza en A menor. El G podría ser el quinto de un acorde de C mayor. Si llegas al Do a través de un acorde de Fa, y quieres que la tercera mayor entre el Fa y el La sea pura, la relación entre La y Do será 6/5:

A = 440 Hz
do = la * 6/5 = 528 herzios
sol = do * 3/2 = 792 Hz

La relación de G a A es, por lo tanto, 9/5, que es aproximadamente 17,6 centavos más alta que una G de igual temperamento a 784,0 Hz.

Ahora G también podría estar un cuarto por encima de D o, de manera equivalente, un quinto por debajo de él. Pasando de A a G en el círculo de quintas, obtienes una proporción de 16/9:

A = 440,0 Hz
D = LA * 4/3 = 586,7 Hz
sol = re * 4/3 = 782,2 Hz

Eso está bastante cerca de un G de temperamento igual, siendo aproximadamente 3.9 centavos más bajo. La proporción de las dos G, 81/80, o alrededor de 21,5 centavos, se conoce como coma sintónica .

Entonces, cuando estás tocando en A menor, y hay una sección de la pieza donde la armonía se enfoca en D, puedes usar un G diferente al de otra sección de la misma pieza donde la armonía se enfoca en F y C.

Incluso puede encontrar situaciones en las que tiene sentido cambiar el tono de una nota repetida debido al contexto armónico. Esto sucede, por ejemplo, en el coral final de la Cantata 78, Jesu, der du meine Seele. La pieza está en sol menor, por lo que intentaremos mantener el sol constante. El primer lanzamiento donde notaremos problemas es A.

Los primeros cuatro compases son bastante estables y terminan en la dominante, re mayor. Los siguientes cuatro compases esencialmente repiten esto, y el compás 10 también comienza en re mayor:

X:1
L:1/8
M:4/4
K:Gm
%%score S A T B
V:S            clef=treble name="S"
V:A            clef=treble name="A"
V:T            clef=treble name="T"
V:B            clef=bass   name="B"
% 1
[V:S]  A2   B2   c2   A2   | B2   AG   G2   F2   |
[V:A] ^F2   G2   G2   F2   | F2   F2  =E2   C2   |
[V:T]  d2   d2   c2   c2   | Bc   d2   cB   A2   |
[V:B]  D,2  G,F, =E,2 F,2  | D,2  B,,2 C,2  F,2  |

       

        
       

Al analizar las frecuencias, daremos todo como el cociente con la frecuencia de G, manteniendo todos los cocientes entre 1 y 2 multiplicando por una potencia de 2 donde sea necesario (por ejemplo, si calculamos una frecuencia de 40/9, dividiremos por 4 para obtener 10/9).

Calculando las frecuencias para F# y A de D=3/2, obtenemos F#=15/8 y A=9/8. El tenor lleva la D desde el primer tiempo hasta el segundo, dándonos un acorde G menor estándar de G=1/1, Bb=6/5 y D=3/2. El alto lleva el G al tercer tiempo, dándonos C=4/3 y E=5/3. El tenor lleva la C al cuarto tiempo, dando F=16/9 y A=10/9.

Aquí tenemos nuestro primer problema. La soprano acaba de empezar la frase cantando A=9/8, y ahora están cantando A=10/9. La relación de esas frecuencias es 81/80, la coma sintónica. De hecho, si mantenemos todas las quintas y los unísonos perfectamente afinados, el tono del acorde final será más bajo que el del acorde inicial en esta proporción. Una progresión como esta se llama bomba de coma .

¿Cómo podemos arreglar eso? Dado que la melodía de soprano es el punto de partida de la composición, ¿qué sucede si afinamos ese acorde con las sopranos cantando A=9/8 para que coincida con su primera nota, en lugar de afinarlo con los tenores? El F bajo y alto se convierte en F = 9/5 en lugar de F = 16/9. Quizás lo más extraño es que los tenores tendrían que elevar el tono del do repetido de do=4/3 a do=27/20. Los bajos tendrían que cantar un medio paso muy grande de 27/25 (33 centavos más que un medio paso de temperamento igual y 21 centavos más que el medio paso habitual de 16/15, que ya es algo grande en 112 centavos ). Pero cuando lleguemos al final de la pieza, volveremos al punto de partida.

Pero todavía hay un problema. Estamos dando prioridad a las sopranos, y tienen un intervalo impar entre su A=9/8 y su C=4/3. Eso es un tercio menor de 32/27 en lugar de 6/5. ¡Pero hey! Si ponemos la C en el tiempo 3 en C=27/20, los tenores no tienen que cambiar el tono de la repetición de C entre los tiempos 3 y 4. Esto podría ser bueno. ¿Qué implicaciones tiene?

Si el Do del tiempo 3 es Do=27/20, entonces el Sol debe ser Sol=81/80. Tal vez podamos perdonar un G inestable en esta parte de la pieza, ya que nos estamos moviendo hacia el mayor relativo. Pero si usamos ese Sol en el tiempo anterior, el Re también tendría que ser elevado por una coma sintónica, por lo que los tenores tendrían que alterar el tono de su Re repetido entre los tiempos 1 y 2 o los altos tendrían que elevarlo. el tono de su D repetido entre los tiempos 2 y 3. No hay forma de mantener puros todos los intervalos armónicos y melódicos y al mismo tiempo terminar la pieza donde comenzamos.