En los temperamentos de tono medio, ¿A sostenido y B bemol tienen frecuencias diferentes?

En la afinación pitagórica y justa, según Wikipedia, existen diferentes frecuencias para notas bemol y agudas. En particular, hay un tritono del que parece haber 2 versiones bastante diferentes.

En temperamento igual, solo hay 12 semitonos.

En temperamentos de tono medio,como el de Werckmeister, ¿hay alguna diferencia de frecuencia entre A♯ y B♭? ¿O, como el temperamento igual, solo tienen 12 notas?

Sé que un violín puede estar tocando una frecuencia diferente para A♯ y B♭, y puede sonar mejor, pero si lo hacen, ¿están técnicamente fuera de los límites de los temperamentos iguales y medios?

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Según los comentarios a continuación, el de Werckmeister NO es un 'temperamento de tono medio' sino un 'temperamento bueno'. El tono medio sucedió a principios del siglo XVII, el temperamento bueno a fines del siglo XVII (dice https://www.albany.edu/piporg-l/tmprment.html )

Así que ahora tengo dos preguntas:

  • ¿Son A♯ y B♭ similares en temperamentos de tono medio?
  • ¿Son A♯ y B♭ similares en buen temperamento?
No tengo tiempo para escribir mi respuesta, pero sí, en algo así como 1/4 de medio tono, en teoría, serán diferentes, audiblemente; uno está unos 20 centavos por debajo de 800, uno 20 centavos más alto. Usar uno en lugar del otro es lo que te da intervalos antiguos. El buen temperamento implica cambiar las notas para evitar los intervalos de lobo.
La respuesta de Dave y la respuesta de MattPutnam son correctas. Un temperamento es un sistema para afinar un instrumento de teclado, por lo que su especificación debe tener en cuenta las teclas disponibles en el instrumento. Cualquier instrumento de teclado que tenga la misma clave para A♯ y B♭ necesariamente se afinará en un temperamento que especifique el mismo tono para A♯ y B♭.
Pero eso no responde la pregunta. La pregunta es si al usar tal afinación, el afinador debe elegir a qué nota afinar dicha tecla. ¿Un temperamento de tono medio o, por ejemplo, Werckmeister III, prescribe un solo tono para la tecla A#/Bb, que se utilizará para ambos, o proporciona dos tonos diferentes entre los que debe elegir el afinador? Esa es la pregunta. Creo que la respuesta es: el primero para temperamentos buenos, el segundo para temperamentos de tonos medios (que simplemente asume que notas como A # no ocurren).
@reinierpost Werckmeister son temperamentos de 12 tonos. Los temperamentos de tono medio hacen lo que usted nota típicamente afinan B bemol como tal, ya que A sostenido es un tono inusual para el período en el que se usaban los temperamentos de tono medio, pero creo que hay ejemplos de teclados de teclas divididas con dos teclas en esa posición. La pregunta que surgiría de manera más realista en la práctica es Sol sostenido vs. La bemol.

Respuestas (3)

No. "Meantone" significa que la afinación se ha ajustado para que el tono producido por Bb o A# sea el promedio (o la 'media') de los dos tonos. Terminas con solo 12 tonos por octava, tal como lo haces en temperamento igual.

EDITAR: El OP me ha pedido que elabore mi respuesta, que veo que ha recibido varios votos negativos. Tal vez eso se merezca: como profesor de música, sombreo las respuestas según el nivel percibido de lo que sabe un estudiante (por ejemplo, al enseñar una firma de tiempo "el número superior es el número de tiempos por compás" es suficiente, y una discusión de metros simples versus compuestos espera hasta más tarde).

Con eso fuera del camino…

Los instrumentos de teclado anteriores a 1500 tenían hasta 19 teclas por octava, con teclas divididas para todas las teclas negras modernas, además de B# y E# que eran diferentes de C y F. (Vea la primera fotografía en http:// www .harpsichord.org.uk/wp-content/uploads/2015/04/archicembalo.pdf para una reproducción de un archicembalo de principios del siglo XVI con 19 teclas por octava en el manual inferior).

La afinación pitagórica requería la gran cantidad de teclas: a medida que avanza en la serie armónica, obtiene diferentes tonos para F # / Gb, etc.

La tecnología de fabricación estaba mejorando rápidamente en el siglo XVI, con nuevas técnicas para tirar del alambre (las cuerdas de la mayoría de estos instrumentos eran de latón). Como resultado, ahora éramos capaces de fabricar instrumentos con un rango más amplio. Incluso en la afinación pitagórica eso significa chocar con la coma pitagórica: tres tercios puros de 5:4 no suman una octava de 2:1. Cuanto mayor sea el rango del instrumento, más pronunciada será la discrepancia.

Simultáneamente con esto, estaba el deseo de simplificar los instrumentos, reduciendo el número de teclas. Esto los haría más fáciles de fabricar y más fáciles de jugar.

Era necesario resolver la coma pitagórica a nivel práctico. La primera solución que conozco fue la de Pietro Aron en su libro Toscanello in musica publicado en 1539: propuso dividir la coma en cuatro partes y bajar la afinación de cuatro quintas consecutivas en esa cantidad para crear una octava perfecta conservando la mayoría de los tercios puros. Su sistema dio como resultado ocho tercios puros y cuatro terribles (anchos de unos 40 centavos). Los quintos eran estrechos por unos seis centavos, excepto uno, que era ancho por la friolera de 35 centavos. En caso de que esté interesado en analizarlo en profundidad, la parte de afinación de su libro está traducida en línea en http://www.tonalsoft.com/monzo/aron/toscanello/aron_toscanello.htm

El uso de la afinación de Aron hizo posible crear un instrumento con 12 teclas por octava que sonaba al menos aceptable en varias teclas. Se evitaron las teclas que requerían las notas malas, conocidas como "tonos de lobo".

El método de Aron llegó a conocerse como afinación de tono medio. El templado durante dos quintas consecutivas significaba que el intervalo de la segunda mayor estaba a la mitad (la media) de la tercera mayor. Más o menos 1/10 de centavo, que ciertamente es lo suficientemente cercano para el propósito. Cualquier afinación que resulte en pasos enteros iguales puede llamarse correctamente tono medio, y las afinaciones de tono medio se pueden crear usando 1/3 de la coma, o 1/5, o cualquier otra fracción menor que el número de tonos discretos por octava (nuestro 12TET sistema es una variedad de significado).

El desarrollo de la afinación de medios tonos fue simultáneo con la eliminación de las alteraciones divididas, o al menos tan simultáneo como lo permitía la velocidad de la información que viajaba en el siglo XVI. Esto significaba que también tenía el efecto de ajustar las teclas negras para que cayeran entre los tonos agudos y bemoles pitagóricos.

En el contexto de la pregunta, mi respuesta original, que significaba que el tono dividía la diferencia entre sostenidos y bemoles, es precisa. El hecho de que pueda tener afinaciones de tono medio con divisiones de octava que no sean doce es cierto ... pero lo juzgué irrelevante para la pregunta.

El siguiente problema fue cómo manejar los tonos de lobo. Muchos afinadores idearon ajustes a la afinación de tono medio para reducir o eliminar los lobos al subir o bajar tonos específicos. Werkmeister fue uno de ellos e ideó una serie de posibles afinaciones. Estas afinaciones se llaman de buen temperamento, porque permitían que el instrumento tocara bien en todas las tonalidades.

Debido a que el buen temperamento resulta del ajuste de tonos individuales, terminas con intervalos que no son todos del mismo tamaño. Su tercera menor en C será diferente de su tercera menor en D o Ab. Algunos encontraron que esto era una característica más que un error: cada tecla ahora tenía su propio carácter único, distinto de cualquier otra tecla. Varios buenos temperamentos se mantuvieron durante el siglo XIX y todavía los usan los instrumentistas de "época".

12TET comenzó a reemplazar el buen temperamento a mediados del siglo XIX y se considera el estándar en la actualidad.

¿Tiene alguna referencia que exponga las matemáticas detrás de la idea de que el tono es la media de las dos notas enarmónicas?
@Dave hay diferentes versiones del temperamento de tono medio. aquí hay 4 de ellos: en.wikipedia.org/wiki/Werckmeister_temperament
Las matemáticas de @Dave no fueron posibles, ya que la afinación de tono medio se desarrolló varios cientos de años antes de que pudiéramos medir la frecuencia. La "media" fue la conjetura del sintonizador.
Las afinaciones de @commonpike Werkmeister eran bien temperamentos, el sistema que reemplazó a meantone. En medio tono todos los pasos enteros son del mismo tamaño; en buen temperamento no lo son.
@dekkadeci: como nuevo usuario, aún no tengo suficiente "reputación" para comentar directamente sobre su edición de la pregunta, pero es incorrecta. Las afinaciones de Werkmeister son bien temperamentos, no afinaciones de tono medio. Las afinaciones de tono medio toman el promedio de las alteraciones pitagóricas divididas; son un temperamento "regular" o "lineal", dividiendo uniformemente la coma pitagórica. Los temperamentos de pozo hacen ajustes al tono medio para reducir los tonos de lobo y son temperamentos "irregulares", lo que significa que no todos los pasos son del mismo tamaño.
Equivocado. En entonación justa, do re mi tiene frecuencias 8:9:10, haciendo intervalos de un tono mayor y un tono menor. "X es un temperamento de tono medio" significa que X hace que estos tonos tengan el mismo tamaño, es decir, hace 4 quintas perfectas = 2 octavas + 3ra mayor. Nada que ver con Bb/A#. Un posible significado de Bb=A# es que 12 quintas perfectas = 7 octavas. En este caso 12ET es el único temperamento con ambas propiedades; en medio tono de cuarto de coma, 31ET y otros tonos medios Bb y A # son diferentes.
@RosieF: estoy de acuerdo en que el tono medio hace que los tonos tengan el mismo tamaño, y que cualquier ET es tono medio, y que un temperamento de tono medio puede tener diferentes tonos Bb / A #. No estoy de acuerdo con la edición: "Meantone temperaments like Werkmeisters" (Werkmeister se agregó en la edición). Los temperamentos de los Werkmeister no se entienden como tonos, ya que son irregulares.
@TomSerb, vaya, edité la pregunta ahora; no quiero agregar más a la confusión. ¿Podría actualizar su respuesta para que pueda iluminar a los futuros lectores, así como ... a mí? :-)
@TomSerb: para aclarar, Werckmeister mencionado como un temperamento de tono medio estaba en la versión original de esta pregunta. Corregí la ortografía de las notas (vi "Bd" en el original) pero no verifiqué qué tipo de temperamento/afinación era Werckmeister (y la ortografía de ese nombre parecía plausible, así que ni siquiera verifiqué su ortografía) .
@Dekkadeci - mis disculpas. Pensé que era tu edición.
@commonpike: he elaborado bastante por debajo de mi respuesta original
@TomSerb genial! Aceptada tu respuesta, y muchas gracias. Los votos negativos no fueron merecidos en mi humilde opinión (¡y no los míos!)
@TomSerb "En tono medio, todos los pasos completos tienen el mismo tamaño": esto no es cierto. ¿Puedes dar un ejemplo de un temperamento de tono medio histórico en el que se encuentre? Si fuera cierto, entonces ¿por qué existirían los temperamentos de un solo temperamento distintos del temperamento igual? En un temperamento desigual donde todos los pasos enteros son del mismo tamaño, habrá dos tamaños de semitonos. ¿Cuáles serían esos tamaños y por qué? (Además, reducir las quintas en 1/4 de coma no crea octavas perfectas, solo tercios puros).
Para decirlo de otra manera, no es posible que todos los pasos completos tengan el mismo tamaño y al mismo tiempo tengan "ocho tercios puros y cuatro que eran terribles (ancho por alrededor de 40 centavos)".
@phoog Dije que el sistema de Aron dividió la coma entre cuatro quintos consecutivos. Eso da como resultado ocho tercios puros y cuatro que son bastante amplios. Al abordar la declaración anterior de Rosie, estuve de acuerdo en que "los tonos" (es decir, do-re-mi) son del mismo tamaño. También dije que cualquier afinación que resulte en tonos enteros del mismo tamaño puede ser considerada como medio tono. Ninguna de esas afirmaciones está en conflicto, porque si bien todas se refieren a temperamentos de tono medio, no se refieren a la MISMA afinación.
@TomSerb dijiste "en tono medio, todos los pasos completos son del mismo tamaño". Eso no es correcto. Do-re-mi son del mismo tamaño, cierto, pero no todos los pasos completos. Si todos los pasos enteros tuvieran el mismo tamaño, entonces cdef♯-g♯-a♯-c tendrían todos el mismo tamaño, al igual que c♯-d♯-fgabc♯. Además, debido a que 1/4 de coma significatono da como resultado tercios puros, pero los tercios puros sucesivos son menos de una octava, al menos uno de los tercios en ceg♯-c debe ser ancho, y los dos pasos completos en ese tercio no pueden ser iguales a los dos pasos enteros en los otros tercios.
Solo la primera oración de esta pregunta aborda la pregunta real que se hace, pero es objetivamente incorrecta. El resto es toda una historia de fondo, interesante, pero no hay respuesta a la pregunta.
@reinierpost: mi respuesta originalmente fue solo la primera oración. Verá que sigue mi edición: el OP me pidió que lo expusiera, por lo que la historia de fondo está ahí.

La mayoría de los temperamentos con los que te encontrarás en la práctica no diferencian entre notas enarmónicas, sin embargo, hay muchos temperamentos que sí lo hacen; rara vez se usan, o son "solo teóricos" porque no hay muchos instrumentos de tono fijo que proporcionen más de 12 notas por octava, por lo que no hay instrumentos que se puedan sintonizar con ellos. Una cosa importante a tener en cuenta es que un temperamento es una construcción muy práctica: ¿cómo afino esto para que suene bien?

Tome los temperamentos Werkmeister: se utilizan principalmente para órganos, que casi siempre tienen teclados de octava de 12 notas y, por lo tanto, debe asignar un solo tono a los pares de notas enarmónicas.

Sin embargo, hubo algunos instrumentos construidos con teclados de teclas divididas que brindan el mecanismo para diferenciar algunas notas enarmónicas. De hecho, la gente ha ido bastante lejos con esta idea, por ejemplo, este instrumento con 84 notas por octava afinado en 53-ET(?) .

Otro ejemplo es la concertina inglesa : tiene 14 botones/octava y diferencia entre a♭/g♯ y e♭/d♯. Estos se pueden sintonizar en 1/5 de coma para aprovechar este hecho.

Finalmente, sí, los instrumentos de tono continuo no siempre (intentan) crear notas correctamente en un estándar de afinación en particular, sino que pueden, especialmente en situaciones de solo/principal, aplicar una entonación expresiva .

No estás abordando la posibilidad de volver a afinar instrumentos entre piezas. Posiblemente, un órgano portativo u otro instrumento de teclado se puede volver a sintonizar entre piezas en diferentes tonos; tales instrumentos deben afinarse antes de las actuaciones de todos modos. Es posible que se hayan utilizado temperamentos que requieran tal reajuste.

En cualquier sistema de 12 tonos, A♯ y B♭ son siempre iguales. Si son diferentes, entonces tienes más de 12 tonos.

Cuando se utiliza una afinación basada en proporciones, siempre hay múltiples formas de construir un intervalo particular. Si se trata de un temperamento de 12 tonos, debe elegir solo uno. Las diferentes formas de elegir intervalos constituyen temperamentos únicos de 12 tonos.

De hecho, incluso la mayoría de los teclados de teclas divididas con más de 12 teclas por octava tendrán el mismo tono para A♯ y B♭, a menos que la tecla A♯/B♭ sea una de las teclas divididas (que normalmente no lo es).
Entonces, la pregunta es: cuando se usaban temperamentos de medio tono o bien, ¿se usaban solo 12 tonos, o los músicos volvían a afinar ciertas teclas dependiendo de la clave en la que estaba una pieza? Claramente, no lo hicieron en los órganos de la iglesia, pero en los instrumentos caseros, de todos modos es necesario volver a afinarlos con frecuencia, por lo que no sería un gran problema.
@reinierpost en los días del temperamento de tono medio, la música tendía a escribirse en una selección limitada de teclas, por lo que no había mucha necesidad de volver a afinar. Sin embargo, era posible, como usted nota. El deseo de utilizar una gama más amplia de claves condujo al desarrollo de temperamentos que permitieron evitar la afinación.
Absolutamente. Como músico de habilidad muy limitada, últimamente me he centrado en algunas piezas del Fitzwilliam Virginal Book (música de alrededor de 1600). Algunos tienen dos o tres bemoles, otros dos o tres sostenidos, uno tiene un cuarto sostenido. D# y Eb, o G# y Ab, son completamente diferentes en tono medio, por lo que simplemente no hay forma de tocarlos todos sin volver a sintonizar esas teclas. Una pieza de Bull usa ambos, y probablemente no fue tocada en tono medio. Los teóricos italianos habían abogado por un temperamento igual en la década de 1580, por lo que no era desconocido.
@reinierpost ¿estás seguro de que estas no son transposiciones modernas? Las firmas de clave con objetos punzantes no se empezaron a usar hasta mediados del siglo XVII, décadas después de que se compilara Fitzwilliam. ¿Qué piezas tienen tres bemoles o tres sostenidos?
@phoog: estoy usando la edición de Dover. Tiene dos pisos en la firma para Rowland ; No creo que tenga nunca sostenidos en las firmas, pero hay una pieza con 3 o 4 sostenidos: Alman CCXXVII . Así que Eb y D# ocurren en diferentes partes. Estoy muy interesado en saber qué temperamento está usando Belder allí.
@reinierpost gracias. Es una lástima que las notas del transatlántico no sean tan fáciles de encontrar en línea como las grabaciones de sonido. Encontré esta revisión del volumen 4 que parece implicar que usó diferentes temperamentos para diferentes piezas o, si no, que usó un temperamento sin tono medio para todos): musicweb-international.com/classrev/2016/Dec /…
@phoog: Muy interesante, gracias.
En los temperamentos de tono medio, ¿A sostenido y B bemol tienen frecuencias diferentes?
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