Contar grados de libertad en presencia de restricciones

El número de grados de libertad físicos (DOF) o variables dinámicas es simplemente el número de posiciones generalizadas cuya evolución viene dada por una ecuación diferencial de segundo orden en el tiempo. Usando la notación OP, el número de DOF es

$${1\over 2}(N-2M-S)$$ Por ejemplo, en electrodinámica, el espacio de fase es de seis dimensiones. $\{A_i,F_{0i}\}_{i=1}^3$y la ley de Gauss es una restricción de primera clase. De este modo $N=6,\, M=1, S=0$. De modo que hay dos DOF ​​correspondientes a las dos polarizaciones de las ondas electromagnéticas o las dos helicidades de los fotones.

Se puede adoptar un punto de vista alternativo y equivalente en el que el espacio de fase consta de$\{A_{\mu},F_{0\mu}\}_{\mu=0}^3$y además de la ley de Gauss se tiene la restricción de primera clase$F_{00}\approx0$(el símbolo$\approx$se lee "débilmente cero" y significa cero cuando se verifican las restricciones, puede escribir perfectamente$=$) que Poisson conmuta con la ley de Gauss y ambas son, por lo tanto, restricciones de primera clase. Entonces$N=8,\, M=2, S=0$y el número de DOF sigue siendo dos, por supuesto.

En el caso del campo gravitatorio, el conteo de DOF es análogo. El espacio de fase consta de$\{h_{ab},p_{ab}\}_{a=1,b=1}^{a=3,b=3}$, con$h_{ab}$los componentes de la métrica espacial y$p_{ab}$sus momentos conjugados. El cuatro$(0,\mu)$Las ecuaciones de Einstein no son ecuaciones dinámicas —ya que no contienen derivadas temporales de segundo orden— sino restricciones de primera clase. Por eso$N=12,\, M=4,\, S=0$de modo que el número de DOF es dos correspondientes a las dos polarizaciones de las ondas gravitacionales.

Sin embargo, considere el caso del campo de Procca (un campo vectorial de masa$m$). Ahora el espacio de fase consta de$\{A_{\mu},F_{0\mu}\}_{\mu=0}^3$y hay dos restricciones$\partial_i\, F_{0i}=m^2A_0$—Estoy considerando una teoría sin campos de materia además del campo vectorial, si se agregaran otros campos, entonces habría una densidad de carga$\rho$en el lado derecho, que se reduce a la ley de Gauss cuando$m=0$y$F_{00}=0$como en el caso electromagnético. Sin embargo, ahora debido al término de masa, las dos restricciones no conmutan a Poisson, por lo que las restricciones son de segunda clase. Por eso$N=8,\, M=0, S=2$y el número de grados de libertad es tres correspondientes a las tres helicidades de una partícula vectorial masiva.

Con$M$Deben imponerse restricciones de primera clase$M$condiciones de fijación del calibre.

Así que la dimensión del espacio de fase física$^1$es$N-2M-S$.

La dimensión del espacio de configuración física$^2$es$\frac{N-2M-S}{2}$.

En otras palabras, hay$\frac{N-2M-S}{2}$grados físicos de libertad (dof), cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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$^1$ El espacio de fase es el espacio de posiciones y momentos generalizados.

$^2$ El espacio de configuración consta de posiciones generalizadas.