¿Por qué ppp y qqq son variables independientes en el formalismo hamiltoniano?

Question

TaeNyFan

digamos que tenemos $(q, \dot{q})$ como la coordenada generalizada y la velocidad generalizada. Si tenemos un Lagrangiano dado por

L = A q \dot{q} + B q

$L=Aq\dot{q}+Bq$ dónde

A

$A$ y

B

$B$ son constantes que dan las unidades correctas al Lagrangiano, entonces el momento canónico

p

$p$ usamos para realizar la transformación de Legendre para obtener el hamiltoniano es

pag = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = A q .

$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=Aq.$ Pero entonces

p

$p$ y

q

$q$ no son variables independientes como

\frac{\partial pag}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial q} A q = A \neq 0.

$\frac{\partial p}{\partial q}=\frac{\partial}{\partial q} Aq=A\neq0.$

¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Es un Lagrangiano singular . Consulte la respuesta de Qmechanic a esta pregunta: physics.stackexchange.com/q/47847

Es un Lagrangiano singular . Consulte la respuesta de Qmechanic a esta pregunta: physics.stackexchange.com/q/47847

qmecanico · Answer 1

Lagrangiano de OP
$\begin{matrix} (1) & L (q, v, t) = A q v + B q \end{matrix}$ $L(q,v,t)~=~Aqv+Bq\tag{1}$ tiene ecuación EL $\begin{matrix} (2) & B \approx 0, \end{matrix}$ $B~\approx~ 0,\tag{2}$ entonces la teoría solo tiene soluciones clásicas si $B=0$ . En este último caso, el Lagrangiano es una derivada total, por lo que la ecuación de Euler-Lagrange (EL) se cumple de forma trivial. De cualquier manera, el Lagrangiano de OP conduce a una teoría bastante singular.
En cuanto a la formulación hamiltoniana correspondiente, el Lagrangiano de OP es un ejemplo donde la transformación de Legendre es singular, es decir, no podemos invertir la relación
$\begin{matrix} (3) & pag = \frac{\partial L}{\partial v} = A q \end{matrix}$ $p~=~\frac{\partial L}{\partial v}~=~Aq\tag{3}$ encontrar $v$ como una función de $p$ . En cambio, la ec. (3) es una restricción primaria , es decir $q$ y $p$ de hecho, no son variables independientes, y habría que realizar un análisis de Dirac-Bergmann. Una restricción secundaria es la ec. (2). El hamiltoniano se convierte en $\begin{matrix} (4) & H = λ (pag - A q), \end{matrix}$ $H~=~\lambda(p-Aq),\tag{4}$ dónde $\lambda$ es un multiplicador de Lagrange.
Para lagrangianos regulares, consulte, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.