Un álgebra abierta para una colección de restricciones de primera clase, , , viene dada por el corchete de Poisson clásicamente, donde las constantes de estructura son funciones de los grados de libertad dinámicos, . Al cuantificar una teoría de calibre, un estado físico tiene que satisfacer las restricciones de primera clase . A partir de esto, uno puede ver fácilmente . En la versión cuántica de la teoría, la ecuación de Poisson tiene que ser reemplazada por una ecuación de operador conmutador. En general, no viaja con . Una posibilidad es que el lado derecho de la ecuación para el conmutador de dos restricciones esté ordenado de modo que la restricción siempre está a la derecha en el producto del operador. Sin embargo, el producto resultante no será hermético en general debido a la no conmutatividad. El conmutador de dos operadores hermitianos es siempre antihermitiano. Entonces, esto significa que los operadores de restricción de primera clase tienen que ser no hermitianos. Si queremos que los operadores de restricción sean hermitianos, requerimos dónde es alguna forma de ordenamiento de operadores. Sin embargo, esta ordenación de operadores en general contendrá algunos términos que no aniquilan en general porque no siempre estará a la derecha. ¿Cómo se soluciona esto?
I) Reformulemos la pregunta de OP (v1) como
¿Cómo puede la hermiticidad mantenerse para el álgebra de calibre
de restricciones de operador de primera clase , si los operadores de estructura
dependen de los operadores espaciales de fase y ?
(Tenga en cuenta que en el lado derecho de la ecuación (1), dejamos que el operador pararse a la izquierda del operador . Esto se hace por razones puramente convencionales para seguir la Ref. 1. Esta reorganización solo significa que deberíamos trabajar con sujetadores físicos en lugar de kets físicos , que es una formulación equivalente.)
II) Nuestro primer punto es que la identidad del operador del álgebra de calibre (1) es solo la primera en una torre (posiblemente infinita) de relaciones de consistencia del operador. Por ejemplo, los operadores de estructura (2) deben satisfacer una identidad de operador similar a la de Jacobi, que a su vez implica un nuevo conjunto de operadores de estructura superior, y así sucesivamente.
Resulta que el enfoque más sistemático es reformular la simetría de calibre (1) en el formalismo de Batalin-Fradkin-Vilkovisky (BFV), que es una generalización del método hamiltoniano BRST de la teoría de Yang-Mills a métodos arbitrarios de primera clase . (1), incluso las llamadas álgebras de gauge reducibles .
El objeto principal en la teoría BFV es un operador de carga BRST fermiónico
que cuadra a cero
Por razones de brevedad obviamente tendríamos que omitir muchos detalles aquí, pero mencionemos que y son fantasmas y momentos fantasma, que llevan el número fantasma y , respectivamente. El operador de carga BRST se requiere tener numero fantasma . El álgebra de calibre (1) está codificada como una de las primeras relaciones de operadores en una torre (posiblemente infinita) de relaciones de operadores que están ocultas dentro de la condición de nilpotencia (4).
El resultado es que la unitaridad de la teoría se implementa esencialmente (entre otras condiciones) requiriendo Hermiticidad de la carga BRST
ecuación (5) dicta en gran medida qué tipo de estructura de hermiticidad/realidad se debe imponer al sistema. En general, estas condiciones de hermiticidad/estructura de la realidad se interrelacionarán entre las restricciones del operador de primera clase , los operadores de estructura (2), los operadores de estructura superior, etc., cf. Árbitro. 1.
Referencias:
Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.
Una observación lateral semántica: la noción de un álgebra de calibre abierto es tradicionalmente una noción en el formalismo lagrangiano, donde el álgebra de calibre se rompe luego fuera de la cáscara. En general, es menos sencillo identificar en el lenguaje hamiltoniano si un sistema de calibre (1) corresponde a un álgebra de calibre abierta en el formalismo lagrangiano, o si no lo es.
Desde entonces, el formalismo BFV se ha desarrollado aún más para hacer frente a las restricciones de segunda clase.
Expansiones de con otros pedidos de operador (pedido de Weyl, pedido de mecha, etc.) en el sector fantasma son posibles, consulte, por ejemplo, la sección 6 en la Ref. 1 para más detalles. El operador de carga BRST en principio se le permite depender de .
La respuesta correcta hace uso de BRST. En breve, es no hermitiano en general. Dejame explicar. En BRST, aumentamos los campos de calibre y materia con campos fantasma , que satisfacen las relaciones canónicas de anticonmutación y . Además, requerimos que ambos campos fantasma sean hermitianos. Esto significa que el sector fantasma tiene que tener una norma indefinida. Defina el operador de número fantasma total como . Hay un operador fermiónico con número fantasma , es hermitiano y es cuadráticamente nilpotente .
Expandir como
Un estado físico satisface . Si este estado tiene cero número fantasma, esto se reduce a la restricción de primera clase .
Es interesante observar el caso especial de la gravedad cuántica en el formalismo ADM. Allí tenemos restricciones hamiltonianas y restricciones de difeomorfismo, y forman un álgebra abierta. Si definimos el hamiltoniano extendido como dónde es el operador fantasma asociado con los difeomorfismos de tiempo en el punto espacial , entonces el operador hamiltoniano extendido no es hermitiano. reemplazándolo con dónde es algún operador de campo de lapso de fijación de calibre no cambia este hecho en absoluto.
Las respuestas dadas básicamente se reducen a eliminar la condición de hermiticidad para . DE ACUERDO. Digamos clásicamente, el corchete de Poisson va como , y después de la cuantificación, requerimos que esto se traduzca en con el producto del operador en el lado derecho tomado precisamente en este orden. La dificultad es que solo hay elecciones muy particulares para el operador que ordena el producto para puede conducir a esta forma de ordenamiento del operador en el lado derecho. Más exactamente, tal vez no deberíamos pensar en ello como una prescripción de pedido de productos tanto como una elección particular de deformación en la cuantización. En general, para álgebras abiertas, va a ser muy difícil encontrar un deformación con esta propiedad. ¿Cómo se hace para encontrar una deformación con esta propiedad?