Contando el número de grados de libertad en un sistema restringido

Siguiendo Contar grados de libertad en presencia de restricciones , sabemos que habría N-2M-S grados de libertad si tenemos M restricciones de primera clase y S restricciones de segunda clase en el espacio de fase N-dim.

No sé cómo llegamos a este conteo. ¿Por qué cada restricción de primera clase elimina 2 grados de libertad y cada restricción de segunda clase elimina 1 grado de libertad?

Gracias.

Respuestas (1)

Una restricción de primera clase elimina 2 grados de libertad porque, por un lado, relaciona la pag i y el q i con una ecuación y, por otro lado, genera un grupo de transformaciones de calibre de un parámetro en la superficie de restricción, donde todos los estados que se encuentran en la misma órbita deben identificarse físicamente. Por lo tanto, pierde un grado de libertad debido a la ecuación de restricción en sí misma, y ​​uno más debido a la transformación de calibre generada.

Una restricción de segunda clase no genera una transformación de calibre, la transformación generada por ella no tiene un significado físico porque no conserva la superficie de la restricción: asigna un estado en la superficie a un estado fuera de la superficie. Entonces, para una restricción de segunda clase, solo tiene el único grado de libertad que elimina simplemente por ser una relación entre las coordenadas.

Gracias por tu respuesta y parece tener sentido. Tengo una pregunta más. En el caso del campo spin-1 sin masa, tenemos dos restricciones de primera clase: Π 0 = 0 y ∂ i Π i = 0 sin fuente La transformación de calibre asociada a la anterior actuando sobre A 0 es d A 0 ( X ) = ∫ ϵ ( y ) [ Π 0 ( y ) , A 0 ( X ) ] = ϵ ( X ) . De hecho, esto no se parece a la simetría de calibre habitual de E&M. ¿Qué tiene de malo mi argumento? @ACuriousMind
@john: Eso es de hecho un poco sutil. La transformación de calibre habitual surge solo como libertad de calibre residual después de imponer la ley de Gauss ∂ i π i = 0 . La razón por la que debes imponer la ley de Gauss, pero no π 0 = 0 es que la ley de Gauss es una restricción secundaria , es decir, es necesaria para la consistencia de la otra restricción con las ecuaciones de movimiento, y las transformaciones de calibre de Lagrange generalmente solo surgen de restricciones primarias de primera clase .
No entiendo su última declaración: la transformación de calibre Lagrangiano solo surge de restricciones primarias de primera clase. En el caso de E&M, la principal restricción de primera clase es Π 0 = 0 , que no genera la transformación de calibre deseada. Supongo que la transformación de calibre asociada con ∂ i Π i = 0 parece d A m = d m i ∂ i ϵ . Aquí, A 0 no se transforma en nada. ¿Ves mi confusión? @ACuriousMind
@john: Oh, lo siento, esa fue una declaración imprecisa. Este es el hecho general y preciso: las simetrías de calibre de la acción lagrangiana habitual son las transformaciones de calibre residuales cuando se han impuesto todas las restricciones secundarias. Para obtener una derivación detallada de este hecho, consulte, por ejemplo, el capítulo 3 en "Cuantización de sistemas de calibre" de Henneaux/Teitelboim.
@john: Para EM, debe considerar la transformación combinada de ambas restricciones en la acción extendida y luego encontrar las transformaciones residuales que conservan las restricciones secundarias en el sentido de que no transforman los multiplicadores de Lagrange asociados.
Bien, estoy leyendo la referencia que mencionaste. @ACuriousMind
@john: Por cierto, el caso de EM se resuelve explícitamente en el capítulo 19.
Ahora veo el punto. Esto es muy sutil, tan difícil de entender. Gracias por tu respuesta @ACuriousMind
@john: ¿Le gustaría que incluyera una discusión explícita del EM en la respuesta? De lo contrario, si cree que mi respuesta responde a su pregunta, puede hacer clic en la marca de verificación en el lado izquierdo para mostrar que esto respondió suficientemente a su pregunta para que no aparezca como "sin respuesta" en el sitio.
¡Creo que está bien! ¡Hice clic en la marca de verificación! Gracias de nuevo. @ACuriousMind
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