Restricciones de primera y segunda clase

(1) Tienes un conjunto de restricciones irreducibles,$\lbrace \phi_j\rbrace$, tanto primaria como secundaria Este conjunto de restricciones define una subvariedad$M$dentro del espacio de fase "completo" (sin restricciones).

(2) Una función en el espacio de fase se establece como débilmente cero si se anula cuando se restringe a la subvariedad restringida$M$. Una función se llama fuertemente cero si sus derivadas con respecto a las coordenadas del espacio de fase sin restricciones son débilmente cero. Por definición, las restricciones son débilmente cero,$\phi_j \approx 0$, pero no necesariamente fuertemente cero.

(3) Una función$F$definida en el espacio de fase completo se denomina función de primera clase si sus corchetes de Poisson con todas las restricciones se desvanecen débilmente . Entonces$F$es de primera clase si

para todas las restricciones$\phi_j$. Una función se llama de segunda clase si no es de primera clase, es decir, si tiene uno o más corchetes de Poisson que no desaparecen débilmente con las restricciones.

(3') Solo como recordatorio: las derivadas en el corchete de Poisson se calculan en el espacio de fase completo, es decir, los momentos y las coordenadas$(p,q)$se tratan como independientes, de modo que se pueden calcular las derivadas$\delta F/\delta q$y$\delta F / \delta p$. Luego, después de esta diferenciación, aplica las ecuaciones de restricción para ver si el corchete de Poisson se desvanece débilmente.

(4) Entonces, finalmente: una restricción es de primera o segunda clase si todos sus corchetes de Poisson con las restricciones restantes se desvanecen débilmente.

(5) Las restricciones de segunda clase no son demasiado difíciles de manejar (es decir, al cuantificar el sistema). Las restricciones de primera clase forman un obstáculo mucho mayor. Son los generadores de transformaciones de norma.

Recomiendo encarecidamente el libro de Hennaux y Teitelboim.

El primer paso es completar toda la lista de restricciones (primaria, secundaria, ternaria, etc.) y verificar que ninguna restricción secundaria conduzca a una contradicción (es decir, una superficie de restricción vacía).

Observación: La evolución temporal de las restricciones se realiza con el hamiltoniano "total":

$H_T(p,q) = p\dot{q}-L+\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha} \phi^{(1)}_{\alpha}$

dónde$\phi^{(1)}_{\alpha}$son las principales limitaciones y$\lambda_{\alpha}$son multiplicadores de Lagrange.

El siguiente paso es el cálculo de la matriz de corchetes de Poisson de todas las restricciones:

$P_{\alpha\beta} = \{\phi_{\alpha}, \phi_{\beta}\}|_{\Sigma}$

(para todas las restricciones$\phi_1, ., ., ., \phi_n$).$\Sigma$es la superficie de restricción.

El número de restricciones de primera clase es igual al corank de la matriz$P$:$n-\mathrm{rank}(P)$.

En la respuesta a continuación, no entraré en relación entre el formalismo lagrangiano y hamiltoniano para el caso de sistemas restringidos, sino que simplemente me limitaré al significado de las restricciones (la forma en que lo entiendo) en el formalismo hamiltoniano: -

Supongamos que le dan un espacio de fase$P$con variables$(q_1,..,q_n;p_1,..,p_n)$. Por lo general, uno trata con "sistemas sin restricciones". Lo que significa que solo te dan un hamiltoniano.$H$; y se permiten todas las soluciones a las ecuaciones de movimiento. Es decir, no hay restricción en la dinámica.

Para un sistema restringido, además del hamiltoniano$H$también tienes un conjunto de ecuaciones de restricción:

$\tag{1}\phi_k(q_1,..,q_n;p_1,..,p_n)=0,\quad k=1,...,m.$

junto con las condiciones

$\{\phi_i,H\} =0\quad\mbox{on the surface of constraints for all $i=1,...,m$}\tag{2}$

Lo que significa que ahora tiene que restringirse a la dinámica en la superficie (es decir, subvariedad) en el espacio de fase definido por (1). Las condiciones (2) aseguran que las restricciones sean consistentes con la dinámica, es decir, si comienza desde un punto$(q_{i0},p_{i0})$en la superficie de la restricción, entonces su evolución temporal también estaría en la superficie.

Ahora (en la medida en que lo entiendo) la idea es diferenciar entre aquellas restricciones que no plantean muchos problemas y pueden eliminarse (llamadas restricciones de segunda clase), en comparación con aquellas que son algo más difíciles de manejar (restricciones de primera clase) . El procedimiento para definirlos es el siguiente:

Encuentra el subconjunto máximo {$\phi_1,...,\phi_k$} del conjunto {$\phi_1,...,\phi_n$} de funciones de restricción tales que el corchete de Poisson de cualquier función en {$\phi_1,...,\phi_k$} con una función en {$\phi_1,...,\phi_n$} es combinación lineal (con coeficientes cualquier función arbitraria de$p_i,q_i$) de funciones$\phi_1,...,\phi_n$. Restricciones correspondientes a {$\phi_1,...,\phi_k$} se denominan restricciones de primera clase mientras que las correspondientes a {$\phi_{k+1},...,\phi_n$} se denominan restricciones de segunda clase.

Dirac mostró que la superficie de restricción definida por restricciones de segunda clase {$\phi_{k+1},...,\phi_n$} es una subvariedad simpléctica$M$del espacio de fase$P$. Lo que significa es que (excepto por la dimensión) localmente$M$se vería como el espacio de fase$P$(si elige las coordenadas correctas) y, por lo tanto, la dinámica en él se puede estudiar como en el espacio de fase habitual sin restricciones.

Entonces, uno puede simplemente eliminar las restricciones de segunda clase restringiendo a$M$como el nuevo espacio fase, y el resto de funciones {$\phi_1,...,\phi_k$} (prohibido para$M$) como nuevas restricciones.

Si una restricción desaparece del corchete de Poisson con todas las demás restricciones, es de primera clase, de lo contrario, de segunda clase.