Sobre restricciones de primera clase y electrodinámica

Considere una teoría en el formalismo hamiltoniano y suponga que tiene restricciones entre variables canónicas q , π . Según la terminología de Dirac, el conjunto de restricciones F a ( q , π ) ≈ 0 de la primera clase satisface las condiciones { F a , F b } PAG ≈ 0 , mientras que el conjunto de restricciones de la segunda clase tiene corchetes de Poisson distintos de cero.

Tengamos casos de campos bosónicos masivos y sin masa con lagrangianos

L = − 1 4 F m v F m v − λ metro 2 A 2 , λ mi METRO = 0 , λ metro a s s i v mi = 1.
Para el primer caso, tenemos el conjunto de restricciones de segunda clase (la segunda es una ecuación de movimiento falsa para A 0 componente)
π 0 = ∂ L ∂ ( ∂ 0 A 0 ) ≈ 0 , F ( A 0 , π i , j 0 ) = − Δ A 0 − ∂ i π i + metro 2 A 0 ≈ 0 , { π 0 ( X ) , F b ( y ) } PAG = − metro 2 d ( X − y ) ,
mientras que para el segundo tenemos restricciones de primera clase:
π 0 = ∂ L ∂ ( ∂ 0 A 0 ) ≈ 0 , F ( A 0 , π i , j 0 ) = − Δ A 0 − ∂ i π i ≈ 0 , { π 0 ( X ) , F b ( y ) } PAG ≈ 0.
¿Por qué en el primer caso después de introducir el corchete de Dirac podemos hacer que la igualdad de las restricciones a cero sea estricta (es decir, podemos expresar A 0 como la función definida de los momentos canónicos y corrientes), mientras que en el segundo caso la imposibilidad de introducción de los corchetes de Dirac lleva a la imposibilidad de expresión de A 0 a través de otras coordenadas canónicas? Es decir, cómo cambia la posibilidad de inctorución de los brackets de Dirac ≈ a = ?

Comentario a la pregunta (v2): Considere proporcionar referencias/más detalles para ≈ a = declaración.

Respuestas (3)

Comentario a la pregunta (v2):

Según Ref. 1, el símbolo de igualdad débil ≈ generalmente significa igualdad módulo todas las restricciones:

  • primaria , secundaria, terciaria, … , restricciones.

  • (o en la clasificación de Dirac) restricciones de primera y segunda clase.

Referencias:

  1. M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994; pag. 13
Sí tienes razón. He borrado la segunda frase.

No estoy seguro de responder correctamente, pero si mal no recuerdo, usar el corchete de Dirac le permite deshacerse de las restricciones de segunda clase y tratar al final solo con las restricciones de primera clase. Y aún al final, consideras solo una igualdad débil, no =.

Hola Tom, esto sería un buen comentario. Como respuesta, es bastante incompleta.
No, no lo hace. Eliminamos las restricciones de segunda clase introduciendo los corchetes de Dirac para la ecuación de movimiento, y luego podemos establecer fuertemente las restricciones de clase secundaria en cero. Después de eso, podemos reducir el número de grados de libertad.

La débil igualdad F ≈ 0 significa que primero debemos evaluar todos los corchetes de Poisson de la teoría (las ecuaciones de movimiento, etc.) y solo después de eso podemos establecer F a cero. Es porque el hamiltoniano no contiene información sobre las restricciones primarias (el buen ejemplo es la electrodinámica), por lo que no contiene información sobre las restricciones secundarias.

Tal vez, he entendido la respuesta a la pregunta. Podemos reemplazar la igualdad débil por la fuerte si todos los corchetes dinámicos (corchete de Poisson al principio) de la restricción con cualquier (!) otra función es igual a cero. Como puede mostrarse, si reemplazamos hamiltoniano H 0 (que no consiste en información sobre restricciones primarias F i ) hacia H = H 0 + λ a F a ≈ H 0 , entonces tendremos el corchete de Dirac para la evolución temporal de cada función. El corchete de Dirac de todas las restricciones del segundo tipo con una función arbitraria es igual a cero, por lo que si podemos introducir este corchete, podemos establecer todas las restricciones de la segunda clase en cero. Pero si quedan restricciones de primera clase, deberíamos analizar nuestra teoría como teoría de calibre, porque las restricciones de primera clase siempre están conectadas con la invariancia bajo algunas transformaciones. Puede reducir nuestros grados de libertad.

Sobre restricciones de primera clase y electrodinámica
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v