¿Por qué dy′dyd⁡y′d⁡y\frac{\operatorname dy'}{\operatorname dy} es cero, ya que y′y′y' depende de yyy?

1. Como matemático, cuando veo

   $$\frac{dy'(t)}{dy}$$ Creo que la definición más natural es $$\frac{d\frac{dy}{dt}}{dy} = \frac{d^2y}{dt^2}\frac{dt}{dy}$$ que decididamente no es (normalmente) cero.

2. Podemos imaginar un sistema dinámico modelando una partícula en una línea con tres coordenadas, modelando cada "estado" potencial que tiene la partícula, donde un "estado" es su posición actual y su velocidad actual. Entonces, las variables se denominan "v, x y t".

Por ejemplo, si en el tiempo 0, la partícula está a 3 metros al oeste del origen y se mueve hacia el este a 4 metros por segundo, sus coordenadas son$t = 0, v = 3, x = 4$.

En tal sistema hay invariantes de la partícula que no dependen de su ubicación, pero sí de su velocidad y de qué hora es. Si llamamos a tal invariante$L$entonces es claro que$\frac{\partial L(v, t)}{\partial x} = 0$.

Me imagino que algo como esto (posiblemente en una dimensión superior) es a lo que se refiere su notación.

La pregunta de OP es una pregunta frecuente cuando uno intenta aprender Mecánica Lagrangiana . Es esencialmente la misma pregunta que esta publicación de Phys.SE.

La respuesta del usuario zyx es exactamente correcta. en el lagrangiano$L(x, \dot{x},t)$, los tres argumentos$x$,$\dot{x}$, y$t$son variables independientes . Una notación menos confusa sería$L(x,v,t)$.

El punto principal es que para un instante dado$t_0$, el lagrangiano$L(x_0,v_0,t_0)$es una función de estado que describe el sistema en ese mismo instante, no el futuro$t>t_0$, ni el pasado$t<t_0$. el lagrangiano$L(x_0,v_0,t_0)$solo depende de la posicion instantanea$x_0$, sobre la velocidad instantánea$v_0$, y posiblemente explícitamente en el instante$t_0$.

Dado que la ecuación de Lagrange correspondiente es una EDO de segundo orden, es posible elegir dos condiciones iniciales independientes$x(t_0)=x_0$y$v(t_0)=v_0$. Así la posición instantánea$x_0$y la velocidad instantanea$v_0$son independientes entre si.

Para obtener más información y la relación con el principio de acción estacionaria , consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

En la mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias, normalmente del orden$2$,$x'' = F(x,x')$, dónde$x$es un vector en$n$dimensiones.

Aquí$x$y$x'$no son más que etiquetas para dos variables independientes, las cuales son$n$-vectores de componentes. Son solo coordenadas en un$n+n$espacio dimensional, y podría haber sido nombrado$a$y$b$. Las soluciones a la ecuación diferencial son caminos, parametrizados por el tiempo de modo que$x = a(t), x'=b(t)$siga un campo vectorial en este espacio que está configurado para codificar las ecuaciones de movimiento.

En el espacio de fases (el$2n$-espacio dimensional recién descrito), las funciones$a$y$b$(Lo siento,$x$y$x'$) son independientes. Se definen por$a(r,s)=r$y$b(u,g)=g$donde la notación ha sido elegida perversamente para señalar que esto no es más que un registro de variables.

En una ruta de solución de las ecuaciones de movimiento,$x$y$x'$, por lo que me refiero a la restricción de las funciones$a$y$b$a la ruta (ignorando sus valores en el resto de la$2n$-espacio dimensional), ciertamente no son independientes. La trayectoria es unidimensional y (en la mayoría de los casos, para intervalos de tiempo cortos) una función típica del movimiento como$x$,$x'$, o$x^3 + e^{x'}$, por lo general contendrá la misma información que$x$o$x'$o la combinación$(x,x')$. Cualquiera de esos datos se puede calcular a partir de cualquier otro.

El campo vectorial se ha configurado de modo que en el camino de la solución,$\large \frac{d}{dt}$aplicado a$x(t)$da$x'(t)$, por lo que las etiquetas no eran tan arbitrarias como se representaban anteriormente.

la notación$\large \frac{dx'}{dx}$, leído como diferenciación de$x'$como una función en el espacio de fase en el$x$la direccion es$0$. Es el$n \times n$matriz cero, no el número$0$, si$x$tiene más de un componente.

la notación$\large \frac{dx'}{dx}$, leído como un cálculo en una ruta de solución, es$x''(t)/x'(t)$o el$n$-análogo dimensional con matrices (que es el$1\times 1$matriz que mapea$ux'(t)$a$ux''(t)$para todos los escalares$u$), y esto no es$0$.

Tenga en cuenta primero que$\frac{\partial L(\dot{x},t)}{dx}$no es lo mismo que$\frac{dy'}{dy}$.

Pero, en aras del argumento, supongamos que en la representación simbólica de$L$obtienes algún término como$4\dot{x}$o algo similar.

para determinar por qué$\frac{d\dot{x}}{dx}$sería cero, tenemos que ver cuál es la definición de un derivado.

Para ser directo, un derivado no se trata de examinar si algo "depende" intuitivamente de algo. Esa es una noción casual que se usa para enseñar el concepto a los estudiantes de cálculo por primera vez. Más bien, la derivada se define bastante explícitamente como el límite de una diferencia de dos valores de la función a medida que el cambio en su argumento se vuelve arbitrariamente pequeño, o,$f'(t) = \lim_{h\to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$.

Tenga en cuenta que esta es la definición de la derivada en un punto , a saber$t$. Esta es una noción ligeramente diferente a la representación funcional de la derivada, que también escribimos como$f'(t)$. Sin embargo, considerar la derivada como una función solo tiene sentido en los valores de$t$donde existe la derivada, que puede estar en cualquier parte, en ninguna parte, o en algún subconjunto del dominio en el que$f(t)$existe en sí mismo.

Dicho esto, la representación funcional de la derivada no depende de$f$, sólo en$t$. Los valores que toma dependen únicamente del área del dominio en el que se está buscando.

En otras palabras, cambiando el valor de$f$no induce ningún cambio en la derivada, la invalida por completo.

$\frac{d x^2}{dx}$no es un ligero cambio de$\frac{d x^3}{dx}$, obtenido al variar la función. Es una construcción completamente diferente.

En tu caso, tienes una función.$L(\dot{x},t)$que depende explícitamente de$\dot{x}$y$t$. No hay dependencia de$x$sí mismo, por lo que al forzar un pequeño cambio en el valor de$x$, no cambiamos el valor de$L$. Forzar un pequeño cambio en$x$no significa cambiar$\dot{x}$en este contexto, porque en la definición de la derivada estamos agregando un pequeño valor a la variable independiente. Y desde$\frac{d (x+c)}{dt} = \frac{dx}{dt}$, entonces vemos que no hay cambio en$\dot{x}$.

(¡esto es una edición!)

Piensa en ello de esta manera. Elige dos puntos$y_1$y$y_2$y dime$y'$en cualquiera de estos dos puntos. La respuesta obvia es que$y'$podría ser cualquier cosa en cualquier punto, por lo que no podemos pensar en$y'$como una función de$y$(es decir$y' \neq f(y)$). Para sacar una derivada, recuerda que dos variables están conectadas en una relación funcional, es decir$f(y)$toma un valor específico en cada punto$y$. Aunque la función$y'$ depende de$y$como una curva a otra, no depende de ella en un sentido funcional (es decir, único en puntos específicos).