Una integral engorrosa

Estoy tratando de auto-estudio de cálculo de variación, y mientras resolvía un problema de física de movimiento cicloide encontré una integral que no sé cómo resolver completamente. Sé por el libro de texto que la respuesta final debería ser π a gramo pero no me acerco a nada:

t = a gramo ∫ θ 0 π 1 − porque ⁡ θ porque ⁡ θ 0 − porque ⁡ θ d θ

Cambié la variable a θ = π − 2 α :

t = a gramo ∫ π − θ 0 2 0 1 + porque ⁡ ( 2 α ) porque ⁡ θ 0 + porque ⁡ ( 2 α ) ( − 2 d α )

ahora usando porque ⁡ ( 2 α ) = 2 porque 2 ⁡ α − 1 y porque ⁡ ( 2 α ) = 1 − 2 pecado 2 ⁡ α Obtuve:

t = a gramo ∫ π − θ 0 2 0 porque ⁡ α porque ⁡ θ 0 + 1 − 2 pecado 2 ⁡ α ( − 2 d α )

Ahora cambié de variable tu = pecado ⁡ α :

t = − 2 a gramo ∫ pecado ⁡ ( π − θ 0 2 ) 0 d tu porque ⁡ θ 0 + 1 − 2 tu 2

tratando de conseguir un arcosh no me ayudará, supongo, ¿cómo procedo? ¡Muchas gracias!

Respuestas (2)

Aquí hay otro método: Multiplicar 1 + porque ⁡ θ y sustituyendo tu = porque ⁡ θ escribir

t = a gramo ∫ − 1 porque ⁡ θ 0 d tu ( porque ⁡ θ 0 − tu ) ( tu + 1 ) .

Ahora apelamos a la siguiente observación general con pag = − 1 y q = porque ⁡ θ 0 :

Observación. Dejar pag < q y escribe C = pag + q 2 y r = q − pag 2 . Entonces el semicírculo superior de radio r centrado en ( C , 0 ) está dada por la ecuación

y = r 2 − ( X − C ) 2 = ( q − X ) ( X − pag ) .

Entonces, el diferencial de longitud de arco a lo largo del semicírculo superior satisface

d s = 1 + ( y ′ ) 2 d X = r ( q − X ) ( X − pag ) d X .

esto dice que

(*) ∫ pag q d X ( q − X ) ( X − pag ) = [longitud del semicírculo superior] r = π .

Por supuesto, (*) puede derivarse puramente por cálculo. Motivados por la observación geométrica anterior, podemos sustituir X = C + r tu = pag + q 2 + q − pag 2 tu escribir

∫ pag q d X ( q − X ) ( X − pag ) = ∫ − 1 1 d tu 1 − tu 2 = [ arcsen ⁡ ( tu ) ] − 1 1 = π .

Sin revisar todos los detalles, tus pasos parecen correctos.

Ahora, la integral al final es de la forma

∫ 1 a 2 − b 2 X 2 d X
que puede calcular a través de una sustitución simple usando la integral tabulada
∫ 1 1 − X 2 d X = arcsen ⁡ ( X ) + C

puedo llegar a − 2 a gramo [ a r C s i norte ( 2 tu C o s θ 0 + 1 ) ] pecado ⁡ ( π − θ 0 2 ) 0 , todavía no está allí.
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