Sobre la "ambigüedad" de función explícita e implícita de una variable

Estás confundiendo la diferencia entre una función y otra función obtenida de la primera a través de la composición (y como es común en física, estás sobrecargando el símbolo$x$). Para que quede absolutamente claro, una función consta de 3 piezas de datos$(f,A,B)$, típicamente escrito$f:A\to B$, dónde$A$se llama dominio,$B$se llama espacio objetivo/codominio y$f$es la "regla" que nos dice cómo los elementos de$A$se asignan a elementos de$B$(No voy a entrar aquí en la madriguera del conejo de la teoría de conjuntos). Si alguno de estos datos cambia, decimos que tenemos una función diferente. Incluso si la "regla" es la misma, pero el dominio es diferente, decimos que tenemos una función diferente.

Supongamos que ahora tenemos dos funciones$f:A\to B$y$g:B\to C$, entonces podemos formar su composición$g\circ f:A\to C$, es decir, mapeando cada$a\in A$a$g(f(a))\in C$. Ahora, a menos que,$A=B$y$f=\text{id}_A$es la función identidad, las dos funciones$g$y$g\circ f$son COSAS COMPLETAMENTE DISTINTAS . Claro, el compuesto$g\circ f$puede haber sido obtenido de$g$, pero eso no significa que sea igual a$g$. De lo contrario, es como decir que solo porque la tierra y la luna son redondas, ambas son la misma cosa... simplemente tonterías.

Ahora, evitaré el término hamiltoniano, porque ese término está reservado para cuando pensamos en una "función de posición y momento", mientras que has escrito cosas como "funciones de posición y velocidades". Por esa razón, usaré el término "energía" en su lugar. Permítanme escribir explícitamente todas las funciones que están presentes (asumiendo que estamos modelando$n$-movimiento dimensional):

• Primero tenemos una función$V:\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$, donde físicamente consideramos que esto dice para cada 'posición'$x\in\Bbb{R}^n$,$V(x)$es la energía potencial en$x$.
• A continuación, tenemos una función$E:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$definido como$E(x,v):=\frac{m\|v\|^2}{2}+V(x)$. Físicamente, podríamos considerar que esto nos da la energía mecánica de una partícula en la posición$x$moviéndose con velocidad$v$, en presencia de la función potencial$V$.
• Por último, supongamos que tenemos una curva$\gamma:\Bbb{R}\to\Bbb{R}^n$. Físicamente, nos gustaría pensar en esto como diciendo para cada$t\in\Bbb{R}$,$\gamma(t)$es la posición de una partícula en el tiempo$t$. Típicamente, los textos de física usan la letra$x$en lugar de$\gamma$; Estoy en contra de tal notación para principiantes, porque sobrecarga completamente el símbolo.$x$y tiene diferentes significados en diferentes ecuaciones, lo que en última instancia solo causa todo tipo de confusión (evitable).

A partir de estos datos dados, podemos formar una composición$\mathcal{E}_{\gamma}:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$, dada por$\mathcal{E}_{\gamma}=E\circ (\gamma,\gamma')$, o más explícitamente, para cada$t\in\Bbb{R}$,

Lo que has hecho en tu publicación es que constantemente has escrito todo como$H$(que como mencioné anteriormente realmente debería ser un$E$... pero esto es solo un pequeño problema) sin escribir los argumentos de la función y, como resultado, está mezclando completamente diferentes funciones

Ahora, por supuesto,$\mathcal{E}_{\gamma}$y$E$son funciones completamente diferentes:$\mathcal{E}_{\gamma}$tiene dominio$\Bbb{R}$mientras$E$tiene dominio$\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n$. En física decimos$\mathcal{E}_{\gamma}$"es una función del tiempo", mientras que "$E$es una función de la posición y la velocidad". En este contexto, decir$E$depende de "implícitamente" en el tiempo es solo una declaración confusa.

Entonces, ¿no es esto ambiguo? Quiero decir, el primer hamiltoniano es el mismo que el segundo, pero uno es explícitamente una función del tiempo y el otro no.

Ahora bien, cuando se dice algo como "la energía potencial depende explícitamente del tiempo", lo que se quiere decir es que tenemos una función$V_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$. La interpretación de esto es que para cada$x\in\Bbb{R}^n,t\in\Bbb{R}$,$V_1(x,t)$es la energía potencial en la posición$x$y tiempo$t$. En consecuencia, se puede introducir una función$E_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definido como

• Entonces, solo para comparar una vez más,$V:\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$y$V_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$son funciones completamente diferentes. Solemos decir "$V_1$depende explícitamente del tiempo" porque su dominio permite el factor adicional de$\Bbb{R}$.

• Asimismo,$E:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$y$E_1:\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}\to\Bbb{R}$son funciones completamente diferentes. Decimos$E_1$"depende explícitamente del tiempo" porque su dominio tiene el extra$\Bbb{R}$factor.

• Dada una curva$\gamma:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$como arriba, podemos introducir una nueva función$\mathcal{E}_{1,\gamma}:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definido para cada$t\in\Bbb{R}$como$\mathcal{E}_{1,\gamma}(t):= E_1(\gamma(t),\gamma'(t),t)$. Aquí,$\mathcal{E}_{\gamma}$y$\mathcal{E}_{1,\gamma}$ambos tienen el mismo dominio y espacio objetivo de$\Bbb{R}$, pero son funciones diferentes porque la "regla" es obviamente diferente.

Solo para repetir una vez más, no debe mezclar diferentes funciones (especialmente si se obtienen por composición), como$E$contra$\mathcal{E}_{\gamma}$, o$E_1$contra$\mathcal{E}_{1,\gamma}$. Además, depender explícitamente del tiempo simplemente significa que el dominio de la función tiene "un factor extra de$\Bbb{R}$".