¿Cuáles son las razones para dejar fuera del hamiltoniano el término de energía disipativa al escribir la función de Lyapunov?

Question

¿Cuáles son las razones para dejar fuera del hamiltoniano el término de energía disipativa al escribir la función de Lyapunov?

Física
disipación
sistemas-complejos
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

Adrián Pfeifle

Tengo un problema con una de mis preguntas de estudio para un examen oral:

El hamiltoniano de un sistema mecánico no lineal, es decir, la suma de las energías cinética y potencial, se utiliza a menudo como función de Lyapunov para controlar la posición y la velocidad del sistema. Considere un sistema amortiguado de un solo grado de libertad, $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ , dónde $m$ es la masa, $c$ es el amortiguamiento proporcional a la velocidad y $k$ es la rigidez. Una función candidata de Lyapunov es la hamiltoniana $V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2$ . ¿Cuáles son las razones para omitir el término de energía disipativa al escribir la función de Lyapunov?

Lo único que me viene a la mente para esta pregunta es que un término de energía disipativa en la función de Lyapunov tendría un signo "-" y, por lo tanto, la función de Lyapunov ya no sería definida positiva. ¿Es eso correcto?

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¿Cuáles son las razones para dejar fuera del hamiltoniano el término de energía disipativa al escribir la función de Lyapunov?

qmecanico · Answer 1

1) En presencia de fricción, la ecuación de Lagrange se modifica

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = - \frac{\partial F}{\partial \dot{X}} \end{matrix}

$\tag{1} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}~=~ -\frac{\partial{\cal F} }{\partial \dot{x}}$

por la función de disipación de Rayleigh

\begin{matrix} (2) & F := \frac{1}{2} C {\dot{X}}^{2} \geq 0 . \end{matrix}

$\tag{2} {\cal F}~: =~ \frac{1}{2} c\dot{x}^2 ~\geq ~0 .$

Aquí el Lagrangiano es

\begin{matrix} (3) & L := T - V, T := \frac{1}{2} metro {\dot{X}}^{2} \geq 0, V := \frac{1}{2} k X^{2} \geq 0. \end{matrix}

$\tag{3} L~:=~T-V, \qquad T~:=~\frac{1}{2} m\dot{x}^2~\geq ~0, \qquad V~:=~\frac{1}{2} kx^2~\geq ~0.$

No es posible escribir un potencial dependiente de la velocidad para la fuerza de fricción, y una descripción lagrangiana (o hamiltoniana) del oscilador amortiguado debe modificarse a la (1) para acomodar el término de fricción, cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

2) La función de energía

\begin{matrix} (4) & h (X, \dot{X}) := \dot{X} \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} - L = T + V \geq 0 \end{matrix}

$\tag{4} h(x,\dot{x})~:=~ \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-L ~=~T+V~\geq ~0$

es precisamente la energía mecánica del sistema.

Se puede demostrar que la tasa de disipación de energía viene dada por la función de disipación de Rayleigh

\begin{matrix} (5) & \frac{d h}{d t} = - 2 F \overset{(2)}{\leq} 0. \end{matrix}

$\tag{5} \frac{dh}{dt}~=~-2{\cal F} ~\stackrel{(2)}{\leq} ~0.$

La semidefinida positiva (4) de $h$ , y la semidefinida negativa (5) de la derivada temporal $\frac{dh}{dt}$ son algunas de las condiciones que normalmente se le exigen a una función de Lyapunov , y no es difícil ver que la energía mecánica $h$ es de hecho una función de Lyapunov para el oscilador amortiguado.

Por otro lado, no está claro cómo incluir ${\cal F}$ en la función de Lyapunov, por las razones explicadas anteriormente.

Referencias:

Herbert Goldstein, Mecánica Clásica, Capítulo 1 y 2.

usuario1409813 · Answer 2

No estoy muy seguro de qué significa "término de energía disipativa", pero sé que no se puede agregar nada proporcional a $\dot{x}$ . Para ver por qué, basta con tomar un punto cercano a la $(x, \dot{x})=(0,0)$ punto. En una vecindad de este punto el $\dot{x}$ el término dominará sobre $\dot{x}^2$ y el punto $(0,\epsilon)$ o $(0,-\epsilon)$ daría un valor negativo.

¿Cuáles son las razones para dejar fuera del hamiltoniano el término de energía disipativa al escribir la función de Lyapunov?

Adrián Pfeifle

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qmecanico

usuario1409813

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