¿Para qué sirve el principio de Maupertuis?

De hecho, los principios de mínima acción de Maupertuis o Euler son históricamente la primera formulación de un principio de mínima acción, pero hay que esperar a Lagrange y Hamilton para tener una versión moderna, con las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange, que nos permiten obtener las ecuaciones de movimiento.

Si no me equivoco, no se pueden deducir directamente las ecuaciones de movimiento de los principios de Maupertuis/Euler. El problema que veo es que no se puede saber la dependencia de la energía potencial$V$en$x$, al ver solo la energía cinética$T$.

Ahora, como dices, pero escrito de otra manera, para un movimiento con energía conservativa, se puede ver que la variación de la acción de Maupertuis es equivalente a la variación de la acción de Lagrange/Hamilton, por ejemplo, comenzando con el principio de Maupertuis:

$$\delta\int (2T) dt = 0$$

Tenemos :$2T = T + (E - V)$, por lo que el principio de Maupertuis se puede escribir:

$$\delta\int (E + (T-V)) dt = 0$$

Pero$E$siendo una constante, esto no es útil en la variación, por lo que finalmente tenemos:

$$\delta\int (T-V) dt = 0$$ que es la acción habitual de Lagrange/Hamilton.

Pero, para tener realmente las ecuaciones de movimiento, tienes que usar un funcional, es decir:

$$\delta\int L(x,\dot x,t) dt = 0$$ y esto te da, gracias a las ecuaciones de Euler/Lagrange, las ecuaciones de movimiento.