¿Un oscilador armónico amortiguado NO es un sistema disipativo?

Sé que esto suena bastante loco, pero lo dice en mi libro. El argumento es el siguiente:

Dado un oscilador armónico amortiguado

$$\ddot{q}+\frac{b}{m}\dot{q}+\frac{k}{m}q=0 \tag1$$

este sistema se puede escribir en forma hamiltoniana de la siguiente manera:

$$H=\frac{p^2}{2m}e^{-bt/m}+\frac{kq^2}{2}e^{bt/m}$$ y usando las ecuaciones de movimiento de Hamilton se puede verificar que este hamiltoniano realmente nos da la ecuación $(1)$

El argumento de por qué esto no es disipativo se debe al Teorema de Louville , el sistema no es disipativo (así lo afirman) porque puede describirse mediante formalismo canónico. Es decir, las soluciones de este sistema son

$$q(t)=e^{-bt/2m}\Big(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\Big), \omega=\sqrt{k/m-b^ˇ/4m}$$ y $$p(t)=me^{bt/2m}\Big((B\omega-\frac{b}{2m}A)\cos(\omega t)-(A\omega+\frac{b}{2m}B)\sin(\omega t)\Big)$$

lo que significaría que como$q$se vuelve más pequeño,$p$se vuelve más grande y, por lo tanto, el área en el espacio de fase se conserva (como en la imagen)

Como el área es proporcional a$E/\omega$y$\omega$es una constante por lo que es$E$!

Obviamente, esto es incorrecto, y debe haber alguna suposición oculta que no estamos tomando en cuenta (y probablemente tenga que ver con el hecho de que$p$se está haciendo exponencialmente más grande con el tiempo...) ¿Qué es esta suposición, qué está tratando de decirme? Definitivamente no es que la energía sea constante en un oscilador amortiguado, ¿verdad?