EOM lagrangiana y hamiltoniana con fuerza disipativa

Question

EOM lagrangiana y hamiltoniana con fuerza disipativa

Física
fricción
disipación
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

usuario56199

Estoy tratando de escribir el lagrangiano y el hamiltoniano para el oscilador armónico forzado antes de cuantificarlo para llegar a la imagen cuántica. para MOE

metro \ddot{q} + β \dot{q} + k q = F (t),

$m\ddot{q}+\beta\dot{q}+kq=f(t),$ escribo el lagrangiano

L = \frac{1}{2} metro {\dot{q}}^{2} - \frac{1}{2} k q^{2} + F (t) q

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-\frac{1}{2}kq^{2}+f(t)q$ con la función de disipación de Rayleigh como

D = \frac{1}{2} β {\dot{q}}^{2}

$D=\frac{1}{2}\beta\dot{q}^{2}$ para poner en Lagrange EOM

0 = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{j}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}} + \frac{\partial D}{\partial {\dot{q}}_{j}} .

$0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial L}{\partial q_j} + \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}.$

Sobre la transformada de Legendre de $L$ , Yo obtengo

H = \frac{1}{2 metro} {pags}^{2} + \frac{1}{2} k q^{2} - F (t) q .

$H=\frac{1}{2m}{p}^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}-f(t)q.$

¿Cómo incluyo el término disipativo para obtener el EOM correcto del EOM de Hamiltonian?

Respuestas (2)

EOM lagrangiana y hamiltoniana con fuerza disipativa

qmecanico · Answer 1

Problema: Dada la segunda ley de Newton

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} metro {\ddot{q}}^{j} = & - β {\dot{q}}^{j} - \frac{\partial V (q, t)}{\partial q^{j}}, \\ j \in & {1, \dots, norte}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} m\ddot{q}^j~=~&-\beta\dot{q}^j-\frac{\partial V(q,t)}{\partial q^j}, \cr j~\in~&\{1,\ldots, n\}, \end{align}\tag{1}$

para una partícula puntual no relativista en $n$ dimensiones, sujeto a una fuerza de fricción, y también sujeto a varias fuerzas que tienen un potencial total $V(q,t)$ , que puede depender explícitamente del tiempo.

I) Enfoque convencional: Existe una formulación no variacional de las ecuaciones de Lagrange

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}}) - \frac{\partial L}{\partial q^{j}} = & q_{j}, \\ j \in & {1, \dots, norte}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~&Q_j, \cr j~\in~&\{1,\ldots, n\},\end{align}\tag{2}$

dónde $Q_j$ son las fuerzas generalizadas que no tienen potenciales generalizados. En nuestro caso (1), el Lagrangiano en eq. (2) es $L=T-V$ , con $T=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ ; y la fuerza

\begin{matrix} (3) & q_{j} = - β {\dot{q}}^{j} \end{matrix}

$Q_j~=~-\beta\dot{q}^j\tag{3}$

es la fuerza de fricción. Se muestra, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE que la fuerza de fricción (3) no tiene potencial. Como menciona OP, se puede introducir la función disipativa de Rayleigh , pero este no es un potencial genuino.

Convencionalmente, exigimos adicionalmente que el Lagrangiano sea de la forma $L=T-U$ , dónde $T=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ está relacionado con el LHS de los EOM (1) (es decir, el lado cinemático), mientras que el potencial $U$ está relacionado con el RHS de los EOM (1) (es decir, el lado dinámico).

Con estos requisitos adicionales, la EOM (1) no tiene una formulación variacional de las ecuaciones de Lagrange

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}}) - \frac{\partial L}{\partial q^{j}} = & 0, \\ j \in & {1, \dots, norte}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~&0,\cr j~\in~&\{1,\ldots, n\},\end{align}\tag{4}$

es decir , ecuaciones de Euler-Lagrange . La transformación de Legendre a la formulación hamiltoniana tradicionalmente solo se define para una formulación variacional (4). Por lo tanto, no existe una formulación hamiltoniana convencional de la EOM (1).

II) Enfoques no convencionales:

Truco con factor exponencial $^1$ : Definir por conveniencia posterior la función
$\begin{matrix} (5) & mi (t) := Exp (\frac{β t}{metro}) . \end{matrix}$ $e(t)~:=~\exp(\frac{\beta t}{m}). \tag{5}$ Una posible formulación variacional (4) de las ecuaciones de Lagrange viene dada por el Lagrangiano $\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} L (q, \dot{q}, t) := & mi (t) L_{0} (q, \dot{q}, t), \\ L_{0} (q, \dot{q}, t) := & \frac{metro}{2} {\dot{q}}^{2} - V (q, t) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L(q,\dot{q},t)~:=~&e(t)L_0(q,\dot{q},t), \cr L_0(q,\dot{q},t)~:=~&\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q,t).\end{align}\tag{6}$ El hamiltoniano correspondiente es $\begin{matrix} (7) & H (q, pags, t) := \frac{{pags}^{2}}{2 metro mi (t)} + mi (t) V (q, t) . \end{matrix}$ $H(q,p,t)~:=~\frac{p^2}{2me(t)}+e(t)V(q,t).\tag{7}$ Una advertencia es que el hamiltoniano (7) no representa la noción tradicional de energía total. Otra advertencia es que este enfoque no convencional no se puede generalizar al caso en que dos sectores acoplados de la teoría requieran factores diferentes (5), por ejemplo, donde cada coordenada $q^j$ tiene relaciones individuales de fricción sobre masa $\frac{\beta_j}{m_j}$ , $j\in\{1, \ldots, n\}$ . Para este enfoque poco convencional de trabajo, es crucial que el factor (5) sea un factor multiplicativo común general para el Lagrangiano (6). Este es un requisito antinatural desde una perspectiva física.
Imposición de MOE a través de multiplicadores de Lagrange $\lambda^j$ : Un principio variacional para las MOE (1) es
$\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} L = & metro \sum_{j = 1}^{norte} {\dot{q}}^{j} {\dot{λ}}^{j} \\ - \sum_{j = 1}^{norte} (β {\dot{q}}^{j} + \frac{\partial V (q, t)}{\partial q^{j}}) λ^{j} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}L ~=~& m\sum_{j=1}^n\dot{q}^j\dot{\lambda}^j\cr &-\sum_{j=1}^n\left(\beta\dot{q}^j+\frac{\partial V(q,t)}{\partial q^j}\right)\lambda^j.\end{align}\tag{8}$ (Aquí tenemos, por conveniencia, "integrado el término cinético por partes" para evitar derivadas de tiempo más altas).
Formalismo clásico "en-en" de Schwinger/Keldysh : Las variables se duplican. Véase, por ejemplo, la ec. (20) en CR Galley, arXiv:1210.2745 . Ignorando los términos de frontera $^2$ el lagrangiano lee
$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{L} (q_{\pm}, {\dot{q}}_{\pm}, t) = & {L (q_{1}, {\dot{q}}_{1}, t) |}_{q_{1} = q_{+} + q_{-} / 2} \\ - & {L (q_{2}, {\dot{q}}_{2}, t) |}_{q_{2} = q_{+} - q_{-} / 2} \\ + & q_{j} (q_{+}, {\dot{q}}_{+}, t) q_{-}^{j} \end{aligned} . \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{L}(q_{\pm},\dot{q}_{\pm},t) ~=~&\left. L(q_1,\dot{q}_1,t)\right|_{q_1=q_+ + q_-/2}\cr ~-~&\left. L(q_2,\dot{q}_2,t)\right|_{q_2=q_+ - q_-/2}\cr ~+~&Q_j(q_+,\dot{q}_+,t)q^j_-\end{align}\tag{9}.$ Las condiciones iniciales $\begin{matrix} (10) & {\begin{array}{rcl} q_{+}^{j} (t_{i}) & = & q_{i}^{j}, \\ {\dot{q}}_{+}^{j} (t_{i}) & = & {\dot{q}}_{i}^{j} \end{array} \end{matrix}$ $\left\{\begin{array}{rcl} q^j_+(t_i)&=&q^j_i,\cr\dot{q}^j_+(t_i)&=&\dot{q}^j_i\end{array}\right.\tag{10}$ implementar los valores iniciales subyacentes del sistema. las condiciones finales $\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} {\begin{array}{rcl} q_{-}^{j} (t_{F}) & = & 0 \\ {\dot{q}}_{-}^{j} (t_{F}) & = & 0 \end{array} \\ ⇓ \\ {\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{q}}_{+}^{j}} |}_{t = t_{F}} = & 0 \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\left\{\begin{array}{rcl} q^j_-(t_f)&=&0\cr \dot{q}^j_-(t_f)&=&0 \end{array}\right. & \cr\cr\qquad\Downarrow&\qquad\cr\cr \left.\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{q}^j_+}\right|_{t=t_f}~=~&0 \end{align}\tag{11}$ implementar la solución del límite físico $q_-^j= 0$ . El truco de la duplicación (9) suele ser lo mismo que introducir los multiplicadores de Lagrange (8).
Método bilocal de Gurtin-Tonti: consulte, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

--

$^1$ Consejo de sombrero: Valter Moretti .

$^2$ El problema variacional (9)+(10)+(11) necesita un término inicial apropiado, ¡que puede no existir siempre! En particular, dado que ya impusimos $4n$ condiciones de frontera (10)+(11), sería demasiado imponer también la condición inicial

q_{-}^{j} (t_{i}) = 0. (\leftarrow ¡Equivocado!)

$q^j_-(t_i)~=~0. \qquad (\leftarrow\text{Wrong!})$ Ejemplo: Si

L = \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2}

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ , después

\tilde{L} = m {\dot{q}}_{+} {\dot{q}}_{-}

$\widetilde{L}=m\dot{q}_+\dot{q}_-$ , y se debe agregar un término inicial

m {\dot{q}}_{+} (t_{i}) q_{-} (t_{i})

$m\dot{q}_+(t_i)q_-(t_i)$ a la acción

\tilde{S}

$\widetilde{S}$ .

Notas para más adelante: Firma de Minkowski $(-,+,\ldots,+)$ . Transformada de Fourier: $\quad\widetilde{Q}(k)=\int\! d^dx ~e^{-ik\cdot x}Q(x)$ ; $\quad Q(x)=\int\! \frac{d^dk}{(2\pi)^d} e^{+ik\cdot x} \widetilde{Q}(k)$ ; Funciones de los verdes: $\quad -(\Box-m^2)\Delta(x\!-\!y)=\delta^d(x\!-\!y)$ ; $\quad -(\Box-m^2)Q(x)=j(x)$ ; $\quad Q(x)=\int \! d^y~\Delta(x\!-\!y)j(y)$ ; $\quad \widetilde{Q}(k)=\widetilde{\Delta}(k)\widetilde{j}(k)$ ;
Acción Schwinger-Keldysh "in-in" gratuita: $\quad S_2- \int\! d^dx~{\cal L}_2 = -i\epsilon^2 \int\! d^dx~d^dy~Q_2(x)\Delta_+(x\!-\!y)Q_1(y)$ $= -i\epsilon^2 \int\! d^dx~d^dy~Q_1(x)\Delta_-(x\!-\!y)Q_2(y)$ ; $\quad S_2- \int\! d^dx~{\cal L}_2 = \frac{\epsilon}{\pi}{\rm PV}\int\! d^dx~d^dy~Q_+(x)\frac{1}{x^0-y^0}Q_-(y)$ $+\frac{i\epsilon^2}{4} \int\! d^dx~d^dy~Q_-(x)\Delta_1(x\!-\!y)Q_-(y)$ ; Bi-local en el espacio-tiempo.
Densidad lagrangiana: $\quad{\cal L}_2 =-\frac{1}{2}\partial_{\mu}Q_1\partial^{\mu}Q_1 -\frac{1}{2}(m^2-i\epsilon)Q_1^2 +\frac{1}{2}\partial_{\mu}Q_2\partial^{\mu}Q_2 +\frac{1}{2}(m^2+i\epsilon)Q_2^2$ $=-\partial_{\mu}Q_+\partial^{\mu}Q_- -m^2Q_+Q_- +i\epsilon(Q_+^2+\frac{1}{4}Q_-^2)$ ; $\quad{\cal L}_2 =-\partial_{\mu}Q_+\partial^{\mu}Q_- -m^2Q_+Q_-$ ; $\quad\widetilde{\cal L}_2~\sim~ -\widetilde{Q}_+(k)(k^2+m^2+i\epsilon{\rm sgn}(k^0))\widetilde{Q}_-(-k)$ $~\sim~-\widetilde{Q}_-(k)(k^2+m^2-i\epsilon{\rm sgn}(k^0))\widetilde{Q}_+(-k)$ ; Casi local/diagonal en el espacio de momento.
Variables Keldysh: $\quad Q_+=\frac{Q_1+Q_2}{2}$ ; $\quad Q_-= Q_1-Q_2$ ; La rotación de la mecha hacia la formulación euclidiana convergente parece oscura. Función de 2 puntos ordenada en el tiempo según el contorno de integración de Keldysh: $\quad\langle TQ_1(x)Q_1(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=\frac{\hbar}{i} \Delta_F(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle Q_1(x)Q_2(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=\hbar \Delta_-(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle Q_2(x)Q_1(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=\hbar \Delta_+(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle AT~ Q_2(x)Q_2(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=-\frac{\hbar}{i} \Delta_{AF}(x\!-\!y)$ ;
$\quad\langle Q_+(x)Q_+(y)\rangle^{(0)}_{J=0}= \frac{\hbar}{2}\Delta_1(x\!-\!y)$ ; $\quad\langle Q_+(x)Q_-(y)\rangle^{(0)}_{J=0}= \frac{\hbar}{i} \Delta_R(x\!-\!y)$ ; $\quad\langle Q_-(x)Q_+(y)\rangle^{(0)}_{J=0} =\frac{\hbar}{i} \Delta_A(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle Q_-(x)Q_-(y)\rangle^{(0)}_{J=0} =0$ ; Funciones de los verdes: $\quad\frac{1}{i}\Delta_F(x\!-\!y)=\theta(x^0\!-\!y^0)\Delta_+(x\!-\!y) +\theta(y^0\!-\!x^0)\Delta_-(x\!-\!y)$ ; $\quad-\frac{1}{i} \Delta_{AF}(x\!-\!y)=\theta(y^0\!-\!x^0)\Delta_+(x\!-\!y) +\theta(x^0\!-\!y^0)\Delta_-(x\!-\!y)$ ;
Transformada de Fourier: $\quad\widetilde{\Delta}_F(k) = \widetilde{\Delta}_E(k^0(\epsilon-i),\vec{k})$ $=\frac{1}{k^2+m^2-i\epsilon}$ $=\frac{1}{2\omega}\left(\frac{1}{k^0+\omega}+\frac{1}{-k^0+\omega}\right)$ $={\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2} +i\pi \delta(k^2+m^2)$ $=\widetilde{\bar{\Delta}}(k)+\frac{i}{2}\widetilde{\Delta}_1(k)$ ; $\quad -\widetilde{\Delta}_{AF}(k)=\frac{-1}{k^2+m^2+i\epsilon}$ $=-{\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2} +i\pi \delta(k^2+m^2)$ ; Funciones de Wightmann: $\quad\widetilde{\Delta}_+(k) =\theta(k^0)~2\pi \delta(k^2+m^2)$ ; $\quad\widetilde{\Delta}_-(k) =\theta(-k^0)~2\pi \delta(k^2+m^2)$ ;
$\quad\widetilde{\Delta}_1(k)=2\pi \delta(k^2+m^2)$ ; $\quad\widetilde{\Delta}_C(k)={\rm sgn}(k^0)~2\pi \delta(k^2+m^2)$ ; $\quad\widetilde{\bar{\Delta}}(k)={\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2}$ ; $\quad\Delta_1=\Delta_+ +\Delta_- =\frac{1}{i}(\Delta_F-\Delta_{AF})$ ; $\quad \Delta_C=\Delta_+ -\Delta_- =\frac{1}{i}(\Delta_R-\Delta_A)$ imaginario; $\quad \bar{\Delta}=\frac{\Delta_R+\Delta_A}{2}$ ;
Función Greens avanzada/retrasada: $\quad\widetilde{\Delta}_{A/R}(k)=\frac{1}{-(k^0\mp i\epsilon)^2+ \vec{k}^2+m^2}$ $=\frac{1}{k^2+m^2\pm i\epsilon{\rm sgn}(k^0)}$ $={\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2} \mp \frac{i}{2}\widetilde{\Delta}_C(k)$ ; $\quad\Delta_R(x\!-\!y) =i\theta(x^0\!-\!y^0)\Delta_C(x\!-\!y)$ real; $\quad\Delta_A(x\!-\!y) =-i\theta(y^0\!-\!x^0)\Delta_C(x\!-\!y)$ real;
Campos dobles originales: $\quad {\bf \Delta}=\begin{pmatrix} \Delta_F &i\Delta_- \cr i\Delta_+ &-\Delta_{AF} \end{pmatrix}$ ; $\quad {\bf \Delta}^{-1}=\begin{pmatrix} \Delta_F^{-1} &i\epsilon^2\Delta_- \cr i\epsilon^2\Delta_+ &-\Delta_{AF}^{-1} \end{pmatrix}$ ; Variables Keldysh: $\quad {\bf \Delta}=\begin{pmatrix} \frac{i}{2}\Delta_1 &\Delta_R \cr \Delta_A &0 \end{pmatrix}$ ; $\quad {\bf \Delta}^{-1}=\begin{pmatrix} 0 &\Delta_A^{-1} \cr \Delta_R^{-1} &-\frac{i\epsilon^2}{2}\Delta_1\end{pmatrix}$ ;
Caso sin masa euclidiana 2D: $\quad \Delta_E(r)=-\frac{1}{2\pi}\ln(r)$ ; Caso sin masa 1+1D minkowskiano: $\quad \Delta_F(x,t) =i\Delta_E(x,(i+\epsilon)t)$ $=-\frac{i}{4\pi}{\rm Ln}(x^2\!-\!t^2+i\epsilon)$ $=-\frac{i}{4\pi}\ln|x^2\!-\!t^2|+\frac{1}{4}\theta(t^2\!-\!x^2)$ ; $\quad \Delta_{\pm}(x,t) =-\frac{1}{4\pi}{\rm Ln}(x^2\!-\!t^2\pm i\epsilon{\rm sgn}(t))$ $=-\frac{1}{4\pi}\ln|x^2\!-\!t^2| \mp\frac{i}{4}{\rm sgn}(t)\theta(t^2\!-\!x^2) =\Delta_{\mp}(-x,-t)$ ;
$\quad \Delta_1(x,t)=-\frac{1}{2\pi}\ln|x^2\!-\!t^2|$ ; $\quad \Delta_C(x,t)=-\frac{i}{2}{\rm sgn}(t)\theta(t^2\!-\!x^2)$ ; $\quad \Delta_R(x,t)=\frac{1}{2}\theta(t\!-\!|x|)$ ; $\quad \Delta_A(x,t)=\frac{1}{2}\theta(-t\!-\!|x|)$ ; $\quad \bar{\Delta}(x,t)=\frac{1}{4}\theta(t^2\!-\!x^2)$ ;
Caso sin masa euclidiana 4D: $\quad \Delta_E(r)=\frac{1}{4\pi^2r^2}$ ; Caso sin masa 3+1D minkowskiano: $\quad \Delta_F(r,t) =i\Delta_E(r,(i+\epsilon)t)$ $=\frac{i}{4\pi^2}\frac{1}{r^2-t^2+i\epsilon}$ $=\frac{i}{4\pi^2}\frac{r^2-t^2-i\epsilon}{(r^2-t^2)^2+\epsilon^2}$ $=\frac{i}{4\pi^2}{\rm PV}\frac{1}{r^2-t^2}+\frac{1}{4\pi}\delta(r^2\!-\!t^2)$ ; $\quad \Delta_{\pm}(r,t) =\frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{r^2-t^2\pm i\epsilon{\rm sgn}(t)}$ $=\frac{1}{4\pi^2}{\rm PV}\frac{1}{r^2-t^2}\mp\frac{i}{4\pi}{\rm sgn}(t)\delta(r^2\!-\!t^2) =\Delta_{\mp}(r,-t)$ ;
$\quad \Delta_1(r,t)=\frac{1}{2\pi^2}{\rm PV}\frac{1}{r^2-t^2}$ ; $\quad \Delta_C(r,t) =-\frac{i}{2\pi}{\rm sgn}(t)\delta(r^2\!-\!t^2)$ ; $\quad \Delta_R(r,t) =\frac{1}{4\pi r}\delta(r-t)$ ; $\quad \Delta_A(r,t) =\frac{1}{4\pi r}\delta(r+t)$ ; $\quad \bar{\Delta}(r,t)=\frac{1}{4\pi}\delta(r^2\!-\!t^2)$ ;

MundoSender · Answer 2

Problema : resolver el EOM

\ddot{X} + β \dot{X} + ω^{2} X = F (t)

$\ddot x + \beta \dot x + \omega^2 x = f(t)$

Como enfoque utilizaremos, además de $x(t), \dot x(t)$ , dos nuevos parámetros $y(t), \dot y(t)$ .

Introduzcamos, mágicamente, un Lagrangiano para este sistema auxiliar

L (X, y, \dot{X}, \dot{y}, t) = \dot{X} \dot{y} - β \dot{X} y - ω^{2} X y - (X + y) F (t)

$L(x, y, \dot x, \dot y, t) = \dot x \dot y - \beta \dot x y - \omega^2 x y - (x + y) f(t)$

Lo importante a notar es que las ecuaciones de movimiento para este sistema son

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = \ddot{y} - β \dot{y} + w^{2} y - F (t) = 0 \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}) - \frac{\partial L}{\partial y} = \ddot{X} + β \dot{X} + w^{2} X - F (t) = 0

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = \ddot y - \beta \dot y + w^2 y - f(t) = 0\\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot y} \right) - \frac{\partial L}{\partial y} = \ddot x + \beta \dot x + w^2 x - f(t) = 0$

Como se puede ver, recuperamos las ecuaciones de movimiento de nuestro sistema original junto con un EOM auxiliar.

De aquí en adelante, todo va de acuerdo con la teoría de la mecánica hamiltoniana. Podemos encontrar los momentos generalizados:

{pags}_{X} = \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} = \dot{y} - β y {pags}_{y} = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \dot{X}

$p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \dot y - \beta y\\ p_y = \frac{\partial L}{\partial \dot y} = \dot x$

Y reescribiendo el langrangiano como un hamiltoniano

H (X, y, {pags}_{X}, {pags}_{y}, t) = {pags}_{X} {pags}_{y} + ω^{2} X y + β y {pags}_{y} + (X + y) F (t)

$H(x, y, p_x, p_y, t) = p_x p_y + \omega^2 x y + \beta y p_y + (x + y) f(t)$

El método es un poco más general, consulte Teoría de la perturbación conservativa para sistemas no conservativos, que me introdujo a la idea de los parámetros auxiliares con el ejemplo del oscilador de Van der Pol.

Por lo que puedo ver, este método debería funcionar bien incluso cuando $x \in \mathbb R^n$ en cuyo caso también elegirías $y \in \mathbb R^n$ .

EOM lagrangiana y hamiltoniana con fuerza disipativa

usuario56199

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MundoSender

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