¿Pueden diferir la dirección del momento angular y la velocidad angular?

Considere un bloque rectangular delgado con ancho$w$, altura$h$descansando a lo largo del plano xy como se muestra a continuación.

La masa del bloque es$m$. El momento de inercia de masa (tensor) del bloque con respecto al punto A es

$${\bf I}_A = m \begin{vmatrix} \frac{h^2}{3} & -\frac{w h}{4} & 0 \\ -\frac{w h}{4} & \frac{w^2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{w^2+h^2}{3} \end{vmatrix}$$

Esto se derivó de la definición (como se ve en https://physics.stackexchange.com/a/244969/392 )

Si este bloque está girando a lo largo del eje x con una velocidad de rotación

$$\boldsymbol{\omega} = \begin{pmatrix} \Omega \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ entonces el momento angular con respecto al punto A es

$${\bf L}_A = m \Omega\,\begin{pmatrix} \frac{h^2}{3} \\ -\frac{w h}{4} \\ 0 \end{pmatrix}$$

Como puede ver, hay una componente del momento angular en la dirección y . El vector de momento angular forma un ángulo$\psi = -\tan^{-1} \left( \frac{3 w}{4 h} \right)$

En la siguiente figura, se ve la dirección del momento angular y el círculo alrededor del cual el centro de masa orbitará debido a la precesión.

Aprobación física, aparentemente ya sabes que el momento de inercia$I$tensor (tensor de inercia para abreviar) es de hecho un tensor en lugar de un escalar. Si fuera un escalar, entonces, por definición, el momento angular y la velocidad angular siempre serían paralelos. Este no es necesariamente el caso debido a que la naturaleza tensorial del momento de inercia es tensorial.

El tensor de inercia de un cuerpo rígido tridimensional arbitrario expresado en un conjunto arbitrario de ejes cartesianos ortogonales se puede expresar en términos de una matriz de 3x3 que es (a) simétrica y (b) semidefinida positiva. Estos dos hechos hacen que siempre se pueda elegir un conjunto de ejes ortogonales en los que el tensor de inercia sea diagonal. Hay tres casos distintos para una matriz diagonal de 3x3:

• Los tres elementos diagonales son iguales entre sí,
• Dos de los tres elementos de la diagonal son iguales entre sí, pero el tercero es una cantidad distinta, y
• Los tres elementos diagonales son cantidades diferentes.

En el primer caso,$\mathrm I \vec \omega$siempre será paralelo a$\vec \omega$. En el segundo caso,$\mathrm I \vec \omega$es paralelo a$\vec \omega$si$\omega$está dirigido a lo largo del eje de simetría o tiene componente cero a lo largo de ese eje. En el tercer caso,$\mathrm I \vec \omega$es paralelo a$\vec \omega$si y solo si$\vec \omega$es paralela a uno de los ejes propios del tensor de inercia.

Suponga que el tensor de inercia (cuando se ortogonaliza) tiene tres elementos distintos y que la velocidad angular tiene al menos dos elementos distintos de cero cuando se expresa en términos del sistema de coordenadas que hace que el tensor de inercia sea ortogonal. En este caso,

$$\begin{aligned} \mathrm I &= \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} \\ \vec \omega &= \phantom{\,\,\,0}\begin{bmatrix} \omega_a \\ \omega_b \\ \omega_c \end{bmatrix} \end{aligned}$$ dónde $a$, $b$, $c$son distintos y al menos dos de $\omega_a$, $\omega_b$, y $\omega_c$son distintos de cero. Esto significa que $$\mathrm I \vec \omega = \begin{bmatrix} a\, \omega_a \\ b\, \omega_b \\ c\, \omega_c \end{bmatrix}$$ no puede ser paralelo a $\vec \omega$.

Prueba:$\vec \omega$y$\mathrm I \vec \omega$son paralelos (o antiparalelos) sólo si$\omega \times (\mathrm I \vec \omega)$es el vector cero. De lo anterior, esto es

$$\omega \times (\mathrm I \vec \omega) = \begin{bmatrix} (b-c) \omega_b \omega_c \\ (c-a) \omega_c \omega_a \\ (a-b) \omega_a \omega_b \end{bmatrix}$$ Ya que $a$, $b$, $c$son distintos, cada uno de $b-c$, $c-a$, y $a-b$es distinto de cero. Dado que al menos dos de $\omega_a$, $\omega_b$, y $\omega_c$son distintos de cero, existe alguna combinación $\omega_i \omega_j$eso es distinto de cero. Por lo tanto, hay al menos un elemento de este vector que es distinto de cero.

Esto solo se cumple cuando el producto de inercia es 0.

Del álgebra matricial, multiplicar un vector (nx 1) (x) por una matriz (nxn) (A) escalará los componentes del vector en la dirección del vector propio por los valores propios respectivos.

$$Ax = b;$$ Si los vectores propios no están alineados con las coordenadas del vector definido, el vector resultante (b) no tendrá la misma dirección que x. Los vectores propios se alinearán con las coordenadas solo cuando los componentes no diagonales de A sean cero.