Momento angular instantáneo de un disco

Según su descripción, asumo que el disco solo se traduce, no gira. ¿Es esto correcto? Si es así, sigue leyendo. Si no, lo borraré.

No me siento cómodo con el primer método que utiliza$L=I\omega$. En esta ecuación, se supone que cada punto del cuerpo rígido puede caracterizarse por la misma velocidad angular$\omega$. Según su descripción del movimiento del disco, parece que esto no se aplica aquí. El disco solo se traslada, no gira sobre un punto; por lo tanto, cada punto tendrá una velocidad angular diferente. No tengo problema con tu expresión por el momento de inercia$I$, pero eso solo sería aplicable si el objeto rotara alrededor de un punto en su borde.

Creo en tu segundo método.$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}$supone que el objeto es una partícula puntual. Puede ver esto porque trata cada punto en el cuerpo como caracterizado por el mismo vector de posición$\vec{r}$. Esto puede o no conducir a la respuesta correcta. Como dijo otro cartel, el formulario que desea usar es$L=\int \vec{r}\times d\vec{p} = \int_A \vec{r} \times \sigma \vec{v}\ dA$, donde he usado una integral bidimensional ya que está tratando el disco como bidimensional. El término$\sigma$es la densidad de masa del área bidimensional$m/(\pi R^2)$. Continuemos con esta integral para ver a dónde lleva.

$$L=\sigma\int_A \vec{r} \times \vec{v} \ dA = \sigma\int_A (\vec{r}_{CM} + \vec{r}_{body}) \times \vec{v} \ dA = \sigma\int_A \vec{r}_{CM} \times \vec{v} \ dA + \sigma\int_A \vec{r}_{body} \times \vec{v} \ dA$$ He separado el vector de posición. $\vec{r}$en la suma del vector al centro de masa y el vector del centro de masa a un punto general del cuerpo. $$L = \sigma\int_A \vec{r}_{CM} \times \vec{v} \ dA + \sigma \underbrace{\int_A \vec{r}_{body} \times \vec{v} \ dA}_{=0?} \stackrel{?}{=} \sigma A \vec{r}_{CM}\times \vec{v}$$ Creo que la integral con la abrazadera inferior es cero por simetría. (¿Alguien quiere intervenir?) Si es así, este método produce su segundo resultado.

El primer método es correcto.

El segundo método es incorrecto porque la ecuación que usa solo se aplica a partículas puntuales, no a masas continuas con volumen (como un disco). Está tratando incorrectamente el disco como una partícula puntual ubicada en el centro del disco. Si desea utilizar el segundo método, deberá utilizar esta ecuación para el momento angular de masas continuas:

$\vec{L} = \int_V dV \, \vec{r} \times \rho(\vec{r})\vec{v}$

Caso a)

Cuerpo con movimiento uniforme (sin rotación), con C el centro del disco y A un punto en el borde (por ejemplo debajo, a una distancia$R$).

$$\begin{aligned} \vec{v}_A & = (v,0,0) \\ \vec{\omega} & = (0,0,0) \\ \vec{v}_C & = \vec{v}_A + (0,-R,0) \times \vec{\omega} = (v,0,0) \\ \vec{L} & = m \vec{v}_C = (m v,0,0) \\ \vec{H}_A & = I \vec{\omega} + (0,-R,0)\times \vec{L} = (0,0,R m v) \\ \end{aligned}$$

Dónde$\vec{L}$es lineal y$\vec{H}_A$es el momento angular con respecto al punto A.

Caso b)

Rodamiento del cuerpo con punto de borde A inmóvil, pero con velocidad de rotación$\Omega$

$$\begin{aligned} \vec{v}_A & = (0,0,0) \\ \vec{\omega} & = (0,0,\Omega) \\ \vec{v}_C & = \vec{v}_A + (0,-R,0) \times \vec{\omega} = (\Omega R,0,0) \\ \vec{L} & = m \vec{v}_C = (m \Omega R,0,0) \\ \vec{H}_A & = I \vec{\omega} + (0,-R,0)\times \vec{L} = (0,0,\Omega (I_C+m R^2)) \\ \end{aligned}$$

El momento angular aquí usa el teorema del eje paralelo y se expande a...

$$v_C = \frac{\Omega}{R} \\ I_C = \frac{m}{2} R^2$$

$$\begin{aligned} L & = (m v_C,0,0) \\ H_A & = \frac{3}{2} m v_C R \\ \end{aligned}$$

Entonces ves que tus dos soluciones corresponden a dos problemas diferentes.