¿Cuándo es v=rωv=rωv=r\omega?

Un diagrama simple ayudará. Su expresión solo tenía magnitudes, pero en realidad, las tres cantidades son vectores (¡incluso rotación!). Esto significa que debe tener en cuenta que si el radio está cambiando, también lo hará la velocidad.

La posición instantánea está dada por$\vec{r}$; la velocidad es la derivada del tiempo,

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$$

Puede pensar que esto está compuesto de dos partes: la velocidad radial y la velocidad tangencial. La velocidad radial es independiente de la rotación; la velocidad tangencial depende de la velocidad instantánea de rotación.

La ecuación real, entonces, es

$$\vec{v} = \frac{d|r|}{dt}\hat{r} + \vec\omega\times\vec{r}$$

dónde$\hat{r}$es el vector unitario que apunta a lo largo del vector de posición.

Ahora es fácil ver que cuando tienes movimiento circular, el primer término es cero (sin cambio en la longitud del vector radial) - luego la expresión se simplifica a la que diste (aunque la mía todavía está en forma vectorial - mostrando que el la velocidad forma ángulos rectos tanto con el vector de velocidad angular (que apunta a lo largo del eje de rotación) como con el vector radial).

Entonces, la respuesta breve a su pregunta: la expresión se cumple cuando la distancia de la partícula al eje de rotación no cambia.

Tienes razón, cuando tienes un movimiento circular uniforme puedes usar esa ecuación, pero la expresión más general es otra, y no es tan difícil de entender.

En casos generales, siempre puede definir su sistema (en 2 dimensiones) con dos vectores. los nombraremos$n$como el vector normal y$l$como el vector azimutal.

Las expresiones de estos vectores son:

$\vec{n}=(cos\theta,sin\theta)$

$\vec{l}=(-sin\theta,cos\theta)$

Puedes ver eso$\vec{\dot n}=\dot \theta·\vec{l}$. Dónde$\dot \theta$es$w$

Ahora puede definir el vector de posición con el vector normal como una constante$r$multiplicado por$n$

$\vec{r}=r·\vec{n}$

si derivas

$\vec{\dot r}=\dot r·\vec{n}+r·\dot \theta·\vec{l}$

Entonces, si su partícula no se mueve en la dirección radial, puede hacer$\dot r$=$0$y obtuviste la ecuación inicial.

Pero en movimientos elípticos como pides, tienes movimientos en la dirección radial, por lo que la expresión más general para la velocidad lineal$\vec{\dot r}$es el demostrado.

También puedes obtener la expresión más general para la aceleración lineal si derivas de nuevo la velocidad y considerando que:

$\vec{\dot l}=-\dot \theta·\vec{n}$

Espero haberte ayudado.