Variación de un término en el Lagrangiano

En esta respuesta, solo haremos un comentario conceptual general sobre la derivada variacional/funcional (FD), que con suerte responde implícitamente a las preguntas específicas de OP.

OP aparentemente está considerando el FD del 'mismo espacio-tiempo',

$$\tag{A}\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~:=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots.$$

[Usamos el símbolo$d_{\mu}\equiv\frac{d}{d x^{\mu}}$(en vez de$\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$) para enfatizar el hecho de que la derivada$d_{\mu}$es una derivada total , que implica tanto la diferenciación implícita a través de las variables de campo$\phi^{\alpha}(x)$, y diferenciación explícita wrt.$x^{\mu}$. los puntos suspensivos$\ldots$en la ec. (A) denota posibles contribuciones de derivados del espacio-tiempo de orden superior.]

El FD del 'mismo espacio-tiempo' está diseñado para producir una notación más corta y reproducir la conocida fórmula de Euler-Lagrange para la derivada variacional/funcional.

Pero es importante enfatizar que la notación del 'mismo espacio-tiempo' (A) es conceptualmente engañosa: no estamos variando la densidad lagrangiana${\cal L}(x)$wrt. el campo$\phi^{\alpha} (x)$en el mismo punto del espacio-tiempo$x$, como puede sugerir la notación (A). Realmente estamos variando la acción funcional $S=\int\! d^ny~{\cal L}(y)$wrt. el campo$\phi^{\alpha} (x)$.

Para obtener más información, consulte también, por ejemplo, esta y esta publicación de Phys.SE.

La derivada funcional$\frac{\delta}{\delta \phi}$actúa sobre funcionales , cosas que asignan funciones a números reales. Es decir, actúan sobre acciones.$S$, no lagrangianos$L$. No sé de dónde sacaste tu pregunta original, ¡pero debería haber un signo menos! En total, creo que lo que estás preguntando es por qué:

$$\frac{\delta}{\delta \phi} \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) = - \partial^\mu \partial_\mu \phi \ .$$

Hay fórmulas rápidas que puede buscar, pero para entender siempre me resulta más fácil trabajar con la variación directamente. Primero, toma tu término$\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi$y hacer la transformacion$\phi \to \phi + \delta \phi$:

$$\begin{align*} \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi &\to \frac{1}{2} \partial^\mu (\phi+\delta \phi) \partial_\mu (\phi + \delta \phi) \\ &= \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi + \frac{1}{2} \partial^\mu (\delta \phi) \partial_\mu \phi + \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu (\delta \phi) + \mathcal{O}(\delta\phi^2) \end{align*}$$

Ahora probablemente puedas ver a dónde va esto, el$1/2$será contabilizado por los dos$\delta \phi$términos en la expansión. ¡Esta es realmente solo la regla del producto!

para extraer el$\delta \phi$puedes integrar cada término por partes, eliminando la derivada total porque esto es física y todo es 0 en el límite :)

$$\begin{align*} \delta \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) &= \int d^4 x\left(-\frac{1}{2}\delta \phi \ \partial^\mu \partial_\mu \phi - \frac{1}{2}\partial_\mu\partial^\mu \phi \ \delta \phi + \partial_\mu(\dots) \right )\\ &= \int d^4 x \ \delta \phi \left( -\partial^\mu \partial_\mu \phi \right) \end{align*}$$ La respuesta es simplemente el integrando, sin el $\delta \phi$, por lo que finalmente escribimos: $$\frac{\delta}{\delta \phi} \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) = - \partial^\mu \partial_\mu \phi \ .$$

La sección 9.2 de Peskin & Schroeder repasa los axiomas de la integración funcional si desea ver una versión más formal.