¿Por qué el potencial es independiente de la velocidad generalizada?

En Goldstein, Mecánica clásica , cap. 1.4 derivamos las ecuaciones de Lagrange del principio de D'Alembert. Mi pregunta es con respecto a la última parte de la derivación, específicamente la parte donde introduce el Lagrangiano$L$definido como$T - V$:

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_j} - Q_j = 0 ,\tag{1.53}$$ $$Q_j = - \frac{\partial V}{\partial q_j}. \tag{1.54}$$ Que al sustituir da: $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j} = 0\tag{1.55}.$$

El siguiente paso es lo que me confunde. Afirma que el potencial$V$no depende de las velocidades generalizadas por lo que hace la siguiente sustitución que "no tiene ningún efecto sobre la diferenciación con respecto a$\dot{q}_j$":

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j} = 0.$$ Lo que lleva a lo familiar: $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0.\tag{1.57}$$

Tiene sentido intuitivamente. Después de todo, puede variar la posición de una partícula sin afectar su velocidad instantánea al final de su trayectoria, provocando así un cambio en el potencial sin un cambio correspondiente en la velocidad.

Mi confusión surge cuando conoces las ecuaciones de movimiento a priori:$V$depende de la posición, la posición depende del tiempo (a partir de ecuaciones de movimiento) y la velocidad depende del tiempo. ¿No significa esto que existe alguna relación entre la función potencial y la velocidad?