Principio de Acción Estacionaria y Ecuación de Euler-Lagrange

Question

Principio de Acción Estacionaria y Ecuación de Euler-Lagrange

acción
Física
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
principio variacional
derivados funcionales

mateo

Principio de acción estacionaria:

Dado un sistema mecánico, existe una acción. $S$ tal que se extremiza, o $\delta S=0$ , para el movimiento real del sistema.

$S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t$ $S = \int_{t_1}^{t_2}L(q, \dot{q}, t)dt$

dónde $L$ es el lagrangiano del sistema.

Ecuación de Euler-Lagrangiana:
$\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = \frac{\partial L}{\partial q}$ $\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\bigg) = \frac{\partial L}{\partial q}$

Tengo entendido que el extremo de S implica que se cumple la ecuación EL.

Mi pregunta es: ¿Funciona al revés? es decir, dado un sistema mecánico, es exigente $\delta S = 0$ por su acción equivalente a exigir $\frac{d}{dt}\big(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big) = \frac{\partial L}{\partial q}$ por su lagrangiano?

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/907/2451 , physics.stackexchange.com/q/69077/2451 , physics.stackexchange.com/q/122486/2451 , physics.stackexchange.com/q/209344/2451 y enlaces en el mismo.

Drvrm

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son solo una condición necesaria para que la acción sea extrema -condición no suficiente- Para otras condiciones suficientes, ver Gelfand & Fomin 2000. Capítulo 5: ver Gelfand and Fomin (2000) Silverman, Richard A., ed. Cálculo de variaciones (Repr. íntegro ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 3. ISBN 978-0486414485". La segunda variación. Capítulo 6: "Campos. Condiciones suficientes para un extremo fuerte". Las condiciones suficientes para un mínimo fuerte están dadas por el teorema de la página 148.

Respuestas (1)

Principio de Acción Estacionaria y Ecuación de Euler-Lagrange

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/907/2451 , physics.stackexchange.com/q/69077/2451 , physics.stackexchange.com/q/122486/2451 , physics.stackexchange.com/q/209344/2451 y enlaces en el mismo.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son solo una condición necesaria para que la acción sea extrema -condición no suficiente- Para otras condiciones suficientes, ver Gelfand & Fomin 2000. Capítulo 5: ver Gelfand and Fomin (2000) Silverman, Richard A., ed. Cálculo de variaciones (Repr. íntegro ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 3. ISBN 978-0486414485". La segunda variación. Capítulo 6: "Campos. Condiciones suficientes para un extremo fuerte". Las condiciones suficientes para un mínimo fuerte están dadas por el teorema de la página 148.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

La derivada funcional de un funcional $S[q]$ con respecto a la función $q(t)$ se define como

\frac{d S [q]}{d q (t)} \equiv \underset{α \to 0}{límite} \frac{S [q + α d_{t}] - S [q]}{α}

$\frac{\delta S[q]}{\delta q(t)}\equiv \lim_{\alpha\to 0}\frac{S[q+\alpha\delta_t]-S[q]}{\alpha}$ dónde

δ_{t}

$\delta_t$ es la función delta de Dirac centrada en

t

$t$ .

Su profesor/libro probablemente demostró que la derivada funcional coincide con la derivada de Euler-Lagrange,

\frac{d S [q]}{d q (t)} = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) - \frac{\partial L}{\partial q}

$\frac{\delta S[q]}{\delta q(t)}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}$ lo que significa

δ S = 0

$\delta S=0$ si EL está satisfecho. Esto significa: como la derivada funcional es igual a la derivada EL, ambas son cero o ninguna lo es.

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mateo

qmecanico

Drvrm

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AccidentalFourierTransformar

mateo

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