Relación entre shm y movimiento circular

Tenemos dos osciladores armónicos en direcciones perpendiculares y diferencia de fase$\pi/2$, por lo tanto las condiciones iniciales son$x(0) = 0$,$\dot{x}(0) = a$,$y(0) =a$,$\dot{y}(0) = 0$,$a>0$, y

Considere un punto que se mueve en un círculo con velocidad angular constante$\omega$:

en un momento$t$el radio al punto en movimiento$(x, y)$forma un ángulo con el$x$eje de$\omega t$, entonces las coordenadas$x$y$y$están dadas por:

Entonces los puntos en el$x$y$y$Los ejes se mueven en movimiento armónico simple con una diferencia de fase de$\pi/2$.

Piensa en un punto que se mueve alrededor de un círculo (con centro en el origen) a velocidad constante. La coordenada x del punto muestra un movimiento armónico simple. Asimismo, la coordenada y del punto muestra shm. Están desfasados, ya que cuando por ejemplo la coordenada x es 0, la coordenada y será +/- radio.

Para un movimiento circular en el plano XY, las dos fuerzas que está buscando no son físicas (como la tensión en la cuerda a la que está unido el objeto giratorio), sino que son los componentes X e Y de la fuerza centrípeta. Trate de pensar en la posición en coordenadas polares y encontrará que esos dos componentes son muy fáciles de calcular.

Las cifras que se obtienen al combinar dos shm con diferente fase y frecuencia se denominan figuras de Lissajous . Básicamente, la respuesta está en el artículo de Wikipedia (y las otras respuestas muy buenas aquí), pero tal vez me extienda un poco más en este gif:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Circular_Lissajous.gif

En principio, también puedes obtener el círculo de esta manera: digamos que tienes dos masas, cada una unida a un resorte. Despreciando la fricción, los movimientos que hacen las dos masas son movimientos armónicos simples. Ahora monte los resortes perpendiculares entre sí y dibuje paralelos desde una masa al eje y y desde la segunda al eje x.

Obtendrías la diferencia de fase de$\pi/2$por ejemplo, comenzando el primer resorte a la mitad y el segundo resorte a una distancia cero desde el punto en que se monta el resorte, asumiendo que la distancia máxima, es decir, la amplitud para ambos, es la misma.

Cada vez que estas líneas se encuentran, dibujas un punto. Al final, se ve así:

Entonces, al final, la combinación de dos shm con diferencia de fase$\pi/2$y la misma amplitud te da un círculo. Cuando tiene una diferencia de fase cero, esto significa que comienza las dos masas en el mismo punto, obtiene una figura como esta:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Lissajous_1_1_0.svg