¿Por qué la fuerza de amortiguamiento actúa sobre un sistema oscilante en dirección opuesta a la velocidad y no a la aceleración?

Las ecuaciones de movimiento para la posición determinan las aceleraciones: son ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo:

$$\vec F = m\vec a = m\ddot{\vec x }$$ Entonces, la aceleración, la segunda derivada de la ubicación en el tiempo, debe determinarse de alguna manera a partir del estado del sistema físico. Por lo general, se determina utilizando el $F=ma$fórmula anterior: la aceleración es la fuerza total dividida por la masa.

Para que esta ley realmente implique alguna trayectoria, la fuerza debe ser calculable a partir de las propiedades actuales de la partícula. Pero las propiedades solo incluyen la ubicación y su derivada, la velocidad. No incluyen la aceleración en sí, que es lo que queremos calcular.

Si la fuerza se definiera como una función de la aceleración, obtendríamos una extraña ecuación autorreferente$a=f(a,\dots)$. Si no hubiera otra fuerza dependiente de la posición o de la velocidad, la solución de esta ecuación sería un valor "universal" de la aceleración, una situación muy extraña.

Entonces, las fuerzas solo pueden depender de ubicaciones y sus primeras derivadas, las velocidades.

En particular, las fuerzas de fricción suelen ser paralelas a las velocidades y van en la dirección opuesta.$-\epsilon\cdot \vec v$es la mejor dirección en la que se debe cambiar la velocidad en$dt$, es decir, la mejor dirección de la fuerza y ​​la aceleración, que consigue la misma reducción de la energía cinética con un valor mínimo de$|\Delta \vec v|$.

Alternativamente, se puede decir que$\vec v$es la única dirección que puede tener la fuerza si las leyes son traslacionalmente invariantes. Esa condición implica la independencia de la fuerza en$\vec x$. La velocidad es lo único de lo que puede depender la fuerza y ​​la simetría rotacional implica la proporcionalidad a la velocidad. El coeficiente es negativo porque según la segunda ley, la energía cinética tiene que disiparse, no concentrarse.

También se puede derivar la fuerza microscópicamente. Imagine un gas con muchas partículas que tienen velocidades aleatorias. ¿Cuál es la fuerza total que estos átomos ejercen sobre un sólido? Las fuerzas de los átomos casi se cancelan, pero los átomos que golpean de frente, en la dirección de la velocidad, son un poco más frecuentes y tienen una velocidad relativa un poco más alta que los que están en la dirección opuesta. Así que dominan ligeramente, haciendo$\vec a\sim -\vec v$.