¿Cuál es el significado de sujetar el centro del resorte?

no entiendo la parte de sujetar el centro de la bobina o cortarla

El método de solución apela a la simetría. Esencialmente, el sistema es simétrico (o incluso sobre el centro del resorte) y esta simetría se explota para llegar a una respuesta.

Si has cursado un primer semestre en electrostática, quizás conozcas el método de las imágenes . En ese caso, no hay simetría, pero creamos un problema simétrico con una solución conocida al extender el dominio con una imagen especular.

Esto es esencialmente lo contrario de ese enfoque. Tenemos un problema simétrico que resolvemos apelando a la solución conocida del problema asimétrico cortando el dominio por la mitad.

Como el problema es simétrico, sabemos que si una masa se desplaza por$\Delta x$, la otra masa se desplaza en una cantidad igual y opuesta.

Por lo tanto, la longitud del resorte cambia en$2\Delta x$por lo que la magnitud de la fuerza sobre cualquiera de las masas cambia en$2k\Delta d$

El hecho es, y no debería ser difícil convencerse de esto, que si solo observamos 'un lado' de este problema, parece que cualquiera de las masas está unida a un resorte que está fijo en el centro y tiene constante de resorte$2k$. Por lo tanto, la frecuencia de oscilación de este problema 'unilateral' es

$$\omega = \sqrt{2k/m} = \sqrt{2}\sqrt{k/m}$$

Apelar a la simetría es un método poderoso para 'intuir' una respuesta a partir de soluciones conocidas.

En cuanto al efecto de la gravedad, suponiendo que el resorte es lineal , la frecuencia de oscilación no se ve afectada por una fuerza de compensación constante.

Es decir, la frecuencia de oscilación,$\omega = \sqrt{2k/m}$es el mismo para las siguientes dos ecuaciones diferenciales:

$$m\ddot x + 2kx = 0$$

$$m\ddot x + 2kx = mg$$

El efecto de la fuerza gravitacional constante en el lado derecho de la segunda ecuación es esencialmente agregar una compensación constante a la solución de la función de posición sin cambiar la frecuencia .

La ecuación de movimiento para una masa.$m$unido a un resorte con constante de resorte$k$(con el otro extremo fijo) en la Tierra es

$$\ddot{x} + \omega^2 x = g$$ dónde $2 \pi f = \omega = \sqrt{k / m}$. Si no es obvio que el $g$término en el lado derecho no afecta la frecuencia, observe que si cambiamos nuestro origen para que $z = 0$cuando $x = g/\omega^2$-- eso es, $z = x - g/\omega^2$-- entonces la ecuación de movimiento para $z$es $$\ddot{z} + \omega^2 z = 0$$

La ecuación de movimiento para la diferencia de posición.$d = x_2 - x_1$de dos masas idénticas unidas a los extremos del resorte en el espacio es

$$\begin{eqnarray} m \frac{d^2}{dt^2} \left(x_2 - x_1\right) &=& - k\left(x_2 - x_1\right) - k\left(x_1 - x_2\right) \\ &=& - 2 k\left(x_2 - x_1\right) \\ \end{eqnarray}$$ o $$\ddot{d} + \frac{2k}{m} d = \ddot{d} + \omega'^2 d = 0$$ dónde $2 \pi f' = \omega' = \sqrt{2k/m} = \sqrt{2} \omega = 2 \pi \left(\sqrt{2} f\right)$, entonces $$f' = \sqrt{2} f$$

Alternativamente, piense en el resorte (con constante de resorte$k$) como dos resortes elementales idénticos (cada uno con constante de resorte$k_0$) en serie . Resulta que$k=\frac{k_0}{2}$, y por lo tanto de la fórmula para la frecuencia característica, que$f=\frac{f_0}{\sqrt{2}}$.

1. En el espacio sin gravedad, el punto medio estará en reposo debido a la simetría, por lo que cada lado se comporta como un resorte elemental con frecuencia$f_0$.

2. De vuelta en la Tierra, el resorte se estirará en el campo gravitatorio. Suponiendo que nos mantenemos dentro del régimen lineal del resorte, la constante del resorte seguirá siendo la misma, por lo que oscilará con la misma frecuencia característica que en el espacio, alrededor del nuevo punto de equilibrio. Este hecho puede verse como resultado de un principio de superposición en la mecánica newtoniana.