Valor esperado de la posición del oscilador armónico

¡Felicidades! Descubriste que la dependencia del tiempo de los estados propios del oscilador armónico no se parece al oscilador clásico. Si desea un valor esperado distinto de cero, debe preparar el sistema en una superposición de estados propios adyacentes , como

$$|\psi\rangle = c_0 |0\rangle + c_1|1\rangle.$$ eso es consecuencia de$x$Dependiendo de$a + a^\dagger$.

De cualquier manera, si desea el estado que realmente se parece al oscilador clásico, debe observar los estados coherentes . Hay muchas formas de definirlos, un ejemplo que deja claro su parecido con el oscilador clásico es trasladar por una distancia finita$d$el estado fundamental:

$$|\psi\rangle = \exp \left (-\frac{i p d}{\hbar} \right )|0\rangle.$$ Usando la imagen de Heisenberg, donde el operador dependiente del tiempo$x$es $$x(t) = x(0) \cos \omega t+\frac{p(0)}{m\omega} \sin \omega t$$ y$|\psi\rangle$se fija en el tiempo, puede probar que el valor esperado de$x(t)$evoluciona como un oscilador clásico de amplitud$d$: $$\langle x(t)\rangle = \langle \psi |x(t)|\psi\rangle = d \cos \omega t.$$

El valor esperado es cero porque hay una simetría entre$x$y$-x$. Si observa la forma de las funciones propias a continuación, verá que tanto$\psi_0$y$\psi_2$son simétricas respecto a$y$-eje. Intuitivamente, esto significa que si toma el valor esperado de cualquiera de ellos, o su suma (su suma tendrá una evolución temporal no trivial, pero puede convencerse de que se conservará la simetría; no hay razón para preferir uno lado sobre el otro), el valor esperado de$x$será cero.

En general, los estados propios del oscilador armónico no tienden a tener el comportamiento oscilatorio que cabría esperar de la mecánica clásica. Sin embargo, esta característica está presente para estados coherentes .

Primero recuerda que el$\psi_n(x)$son soluciones independientes del tiempo por lo que no hay razón para sospechar que$\langle x\rangle$debería comportarse como un oscilador clásico ya que claramente$\langle n\vert x\vert n\rangle=0$. Ahora podría suceder que su estado no sea un estado propio de energía, por lo que la densidad de probabilidad$\vert \Psi(x,t)\vert^2$depende del tiempo, pero eso no implica que$\langle x\rangle$también dependería del tiempo: imagina una bola de helado derritiéndose simétricamente: la distribución de masa podría cambiar con el tiempo, pero la posición promedio del helado podría permanecer constante.

Como han indicado otros, los estados coherentes, que son combinaciones lineales específicas$\psi_n(x)$que contiene todo$n$valores, tienen promedio$\langle x\rangle$que va como un coseno: vea una respuesta a esta pregunta para más detalles.

En tu caso concreto$\langle x\rangle=0$por simetría. Desde$\psi_n(x)$es una función par para todos los pares$n$'s y una función impar para todos los impares$n$'s, básicamente tienes

$$\begin{align} \langle x\rangle &= \int dx \left(a^*\psi_0(x)+b^*e^{2i\omega t}\psi_2(x)\right) x \left(a \psi_0(x)+b e^{-2i\omega t}\psi_2(x)\right)\, ,\\ &= aa^*\int dx \psi_0(x)^2 x + (a^* be^{-2i\omega t}+ab^*e^{2i\omega t}) \int dx \psi_0(x)\psi_2(x)\\ & \qquad +bb^* \int dx \psi_2(x)^2 x \tag{1} \end{align}$$ En (1), toda función bajo una integral es impar, ya que los productos$\psi_0(x)^2, \psi_2(x)^2$y$\psi_0(x)\psi_2(x)$son pares pero multiplicados por$x$.

Hay que tener un poco de cuidado con los límites aquí, ya que son$\pm\infty$, pero el factor exponencial$e^{-\lambda x^2/2}$que entra en

$$\psi_n(x)=H_n(\sqrt{\lambda}x)e^{-\lambda x^2/2}$$ hará que las integrales converjan y te quedes con una función impar integrada entre límites simétricos, lo que da como resultado$0$por paridad.