Preguntas para principiantes sobre la teoría de campos conformes

sobre la primera pregunta, relacionada con el texto alemán de Matthias Gaberdiel (saludos a él):

El álgebra cerrada implica simetría

Basta construir los generadores de un álgebra -en este caso, álgebra conforme- y calcular sus conmutadores$[L_m,L_n]$y así. Si los conmutadores son combinaciones lineales de otros generadores, decimos que los generadores forman un álgebra cerrada. Ahora, tiene razón en que también queremos usar alguna "información dinámica sobre la teoría". Usted escribió que la acción debería ser invariable bajo las transformaciones que generan estos generadores, y le preocupa que la acción, toda la información dinámica sobre la teoría, haya sido completamente eliminada de la prueba, ¿verdad?

Ese es un buen punto, pero la información dinámica no se ha eliminado porque un generador particular (o, para una base general de generadores, una combinación lineal de generadores) es el hamiltoniano que determina la dinámica misma. Para la simetría conforme, es$L_0+\tilde L_0$que juega el papel del hamiltoniano. Genera traslaciones del cilindro o, de manera equivalente (como veremos más adelante), traslaciones multiplicativas en la coordenada radial. (Tal vez cambios aditivos como$c/24$debe agregarse en uno de los fondos).

Porque$L_0+\tilde L_0$es una combinación lineal de algunos generadores y puedes mostrar que el conjunto de generadores es cerrado bajo la operación de tomar el conmutador, prueba que toda el álgebra generada por este conjunto de generadores es una simetría dinámica. En este caso, el conmutador$[L_m, L_0+\tilde L_0]$no es estrictamente cero, por lo que los generadores$L_m$no viaje con el hamiltoniano. En cambio, el conmutador es igual a otra combinación de los generadores de simetría. Pero todavía decimos que$L_m$es una simetría del sistema y conocemos esta situación también por otros contextos.

Por ejemplo, en relatividad especial, el momento angular$J_{12}=J_z$viaja con la energía$p_0$. Sin embargo, el generador de impulso de Lorentz$J_{03}$no conmuta con el hamiltoniano$p_0$: su conmutador es proporcional a$p_3=p_z$, un componente del impulso. Es distinto de cero pero es otro generador de simetría. Es normal que los generadores de simetría actúen de manera no trivial en el tiempo, como el$J_{03}$generador de impulso en relatividad o$L_m$en simetría conforme - tener conmutadores distintos de cero con el hamiltoniano$p_0$o$L_0+\tilde L_0$, respectivamente. Lo que es importante es que el conmutador es otro operador que sabemos que es un generador de simetría, y el álgebra de simetría está completamente descrita por la teoría de grupos, por las constantes de estructura.$f$en$[L_m,L_n]=f_{mn}^k L_k$- y no necesita que conozcamos ninguna información dinámica detallada sobre los campos, etc.

Usted propuso que uno debería verificar que la acción es invariante bajo generadores de simetría. Eso suena bien, excepto que la acción solo es buena para una descripción clásica, o una descripción cuántica que se obtiene mediante una cuantificación directa de una teoría clásica. Tal forma de obtener una teoría cuántica solo es fluida o útil si la teoría cuántica es "lo suficientemente cercana" a una teoría clásica. La CFT más general, especialmente en 2 dimensiones, es tan fuertemente "cuántica" que no existe una noción natural de una acción y grados de libertad clásicos. Uno debe trabajar directamente con los operadores cuánticos, sus conmutadores, y no tienen ningún límite clásico natural o útil. Tome el modelo CFT de Ising como ejemplo. Encontrará muchos campos, como campos de espín y campos de torsión,$1/16$, algo que sería impensable en una teoría clásica: toda la dimensión proviene de efectos cuánticos. Es por eso que la estructura de la ciencia CFT trata de ser lo más independiente posible de los conceptos clásicos como la acción.

Implementando una simetría en operadores

Si tienes un generador$G$de una simetría de Lie, actúa (infinitesimalmente) sobre los estados ket$|\psi\rangle$y estados de sostén$\langle \varphi|$como

$$\delta |\psi \rangle = i \epsilon G |\psi \rangle, \quad \delta \langle \varphi| = i \epsilon \langle \varphi| G$$ Si también define la acción del generador $G$en un operador general $M$como $$\delta M = i \epsilon [G,M]$$ entonces puede probar que todos los elementos de la matriz serán invariantes bajo la simetría, $$\delta \langle \varphi | M | \psi \rangle = 0$$ por la regla de Leibniz. Entonces, la acción natural de los generadores de simetría como $L_m$en operadores como $\phi(z,\bar z)$es $$\delta \phi(z,\bar z) = i \epsilon [L_m,\phi].$$ Así que si el conmutador de $L_m$con algunos campos - operadores - es el mismo que el apropiado $(n+1)$-st derivada de estos operadores, entonces los generadores $L_m$implementar la simetría cuya forma infinitesimal implica $\delta \phi\sim z^{n+1} \partial^{n+1} \phi$.

Sus comentarios sobre "valores propios" son conceptualmente erróneos porque una propiedad definitoria de un "valor propio" es que debe ser un "valor" - un$c$-número - pero$\partial_z$no es un valor, es una operación. (Evité la palabra "operador" porque$\partial_z$no es un operador actuando sobre el espacio de Hilbert de la CFT; solo operadores como$\phi(z,\bar z)$y$\partial_z \phi(z,\bar z)$o$L_m$son operadores que actúan sobre el espacio CFT de Hilbert. En cambio,$\partial_z$en sí mismo es solo una regla para producir un operador a partir de otro. Sería un operador si las funciones de onda -vectores de estado- fueran equivalentes a funciones de$z,\bar z$pero en una CFT bidimensional, seguramente no lo son).

¿Por qué es importante el cilindro?

Con respecto a la pregunta basada en el texto de David Tong (¡saludos a David!), el cilindro es importante precisamente porque una CFT en un cilindro es exactamente equivalente a una CFT en el plano infinito. Si$w=\sigma+i\tau$vive en un cilindro - con$\sigma$siendo$2\pi$-periódico - y si$z=\exp(-iw)$, entonces el cilindro infinito se mapeará completamente al plano, de forma uno a uno.

De hecho, creo que David está siendo muy claro al respecto.

Por lo que el análisis de la CFT definida en un plano completo en general, y su comportamiento cerca del$z=0$origen en particular, es totalmente equivalente a un análisis de un CFT definido en un cilindro en general, y en el límite$w\to -i\infty$En particular. Los dos problemas son exactamente equivalentes, precisamente por la simetría conforme. El cilindro tiene una coordenada espacial periódica pero esta periodicidad no se postula por razones ad hoc . Se postula porque si escribes$z$en forma de radio/fase,

$$z= \exp(-i\sigma+\tau),$$ entonces los puntos con $\sigma\sim \sigma+2 \pi$se identifican entre sí. la coordenada $\sigma$es periódico. Este es el hecho básico de la función exponencial, o su función inversa, el logaritmo, si se ve como una función de una variable compleja. Y el mapa conforme exponencial es muy útil y se puede ver si sigues lo que David está haciendo con eso. Podrías prohibir la función exponencial porque no te gusta (o crees que otras funciones están siendo discriminadas), pero entonces no podrías aprender mucho del cálculo CFT porque el cálculo CFT depende en gran medida de este ingenioso mapa conforme exponencial. .

Debido a que una pequeña parte de cualquier hoja del mundo bidimensional, independientemente de la topología, se parece al plano y debido a que el plano plano es equivalente al cilindro infinito, el cilindro infinito es importante para la comprensión de la física local de la CFT en cualquier lugar. Superficie de Riemann - de cualquier topología.

Es cierto que puedo describir el plano infinito en coordenadas tales que una de ellas es periódica. Esto es lo que hace que el análisis de los estados definidos en el cilindro (estados de cadena cerrada) sea automáticamente útil para el análisis de cualquier propiedad de CFT, incluidos sus operadores en el plano. De hecho, los estados de una cadena cerrada -obtenida cuantificando el CFT en un cilindro- están en correspondencia biunívoca con los operadores locales$\phi_K(0)$en el origen (o en cualquier otro punto), debido al mismísimo mapa conforme desde el plano hasta el cilindro.

Ahora, usted pregunta, ¿dónde está la cuantización?

Muchas de las fórmulas también funcionarían para una teoría de campo conforme clásica (no cuántica). Sin embargo, no existe un espacio de Hilbert de "estados" de una cadena cerrada, obtenidos a partir de la cuantización. Muchas de las cosas interesantes, incluida la correspondencia estado-operador discutida dos párrafos antes de este, solo surgen en la teoría cuántica. Prácticamente todos los objetos tales como$H$,$T_{\rm cylinder}$, y así sucesivamente que David enumera en la página 86 o en casi cualquier otra página son operadores, por lo que se trata de una teoría cuántica.

En algunas ecuaciones, David seguramente también usa conmutadores, para probar que es una teoría cuántica, pero no es necesariamente la página 86 u otra página que puedas encontrar que no tenga conmutadores. ;-) Pero tu queja de que David no juega con los conmutadores de algunos campos exactamente en alguna página donde lo esperarías seguramente no es una queja sensata, ¿verdad?

Estoy bastante seguro de que si escucha con atención, también comprenderá que los conmutadores de los operadores en un CFT se pueden obtener de los OPE, las expansiones del producto del operador. Simplemente coloque dos operadores$T_k(z)$y$T_l(0)$a dos puntos cercanos$0$y$z$y calcular su producto. El producto típicamente incluirá una singularidad que diverge como$z\to 0$- ya que los dos operadores están muy cerca uno del otro. (La singularidad será visible en cualquier valor esperado sensible). El coeficiente de$1/z$o$1/z^2$o$1/z^4$- la singularidad principal - es una$c$-número u otro operador. A partir de ese operador, puede determinar el conmutador de los modos de Fourier de$T_k$y$T_l$expandido sobre el cilindro, y así sucesivamente.

La mecánica cuántica tiene muchos efectos que no encontrarías en la física clásica. Por ejemplo, como bien mencionas, influye en la transformación del cilindro al plano, y así sucesivamente. Sin embargo, no sé qué hacer con preguntas como "¿Y no veo dónde está pasando esto aquí?" ¿Qué debería estar pasando aquí? Bueno, lo que está sucediendo es probablemente algo más de lo que esperabas que sucediera, pero esa es la razón por la que estás tratando de aprender cosas nuevas de David Tog, ¿no es así? Si solo estuvieras aprendiendo cosas viejas que sabías, estarías perdiendo el tiempo.

Las cosas que tiene que aprender para comprender las teorías de campos conformes bidimensionales no son "las mismas cosas" que ya aprendió para una teoría de campos cuánticos genérica en un espacio plano genérico (como uno de cuatro dimensiones). Es un tema nuevo con nuevas funciones especiales, como mapas exponenciales, OPE, correspondencia de operador de estado, etc., y no debe insistir en que la física de los OPE tiene que estar compuesta por la misma información que ya conocía. QED en$d=4$. No es lo mismo; si fuera lo mismo, la gente no lo enseñaría dos veces.

Así que le sugiero que pregunte acerca de algunas afirmaciones particulares que hace David y que usted no entiende. Una suposición necesaria es que realmente tratas de escuchar lo que dice David, en lugar de tratar de obligarlo a decir cosas que querías escuchar en primer lugar. ;-) Cuando cambias a este modo de aprendizaje, la discusión podría volverse un poco más constructiva. En cualquier caso, les aseguro que David está hablando principalmente de sistemas mecánicos cuánticos, por lo que todos los observables son operadores en un espacio de Hilbert que se puede multiplicar y cuyos valores esperados se pueden calcular. La oración anterior podría ayudar si no entendiste todas las fórmulas de las conferencias de David que incluyen un operador, que serían prácticamente todas las fórmulas.

Sin embargo, no puedo explicarte todos los demás detalles sobre el texto de David (y ni siquiera todos los efectos de la mecánica cuántica, porque casi todo en el texto es mecánico cuántico) a menos que digas exactamente cuál es tu problema. Tendría que tomar 107 de sus páginas, inflarlas por un factor de 10, y aún podrías terminar insatisfecho porque tu insatisfacción podría tener causas totalmente diferentes. ;-)

En primer lugar, no basta con tener una representación de un álgebra de Lie en un espacio de Hilbert de una teoría cuántica de campos para afirmar que la teoría es "simétrica" ​​con respecto a este álgebra. Hablamos de "simetría" sólo en el caso en que las funciones de correlación de la teoría verifiquen las llamadas identidades de Ward. Las identidades de Ward se pueden formular sin hacer referencia a una acción clásica ni a ningún proceso de cuantización, aunque un principiante puede no tener esta impresión en la primera lectura de los artículos de revisión. (De hecho, en la literatura, las identidades de Ward a menudo se "derivan" de una acción clásica y la integral de trayectoria, pero en realidad esta "derivación" no es más que una cadena de argumentos plausibles que motivan por qué las identidades de Ward deben tener la forma que tienen. tener).postulados al principio y cualquier teoría que los verifique se llama simétrica. Para ser más claro, permítanme dar un ejemplo de una teoría de campo escalar en el espacio-tiempo bidimensional de Minkowski. La identidad de Ward postulada para la simetría de traslación es

$$\langle 0\vert\Phi(x_1+a)\Phi(x_2+a)...\Phi(x_n+a)\vert 0>=\langle 0\vert \Phi(x_1)\Phi(x_2)...\Phi(x_n)\vert 0\rangle, \qquad (Ward)$$ dónde $\Phi(x)$es una distribución operacional (que se untará con funciones uniformes compatibles de forma compacta en el espacio de Minkowski) y $\vert 0\rangle$es el vector de vacío. Por supuesto, esta forma de la identidad traslacional de Ward puede estar motivada por una acción clásica y una integral de trayectoria, pero esto no es importante para nosotros. las identidades $(Ward)$de hecho, simplemente se postulan y cualquier teoría que los verifique se llama, por definición, simétrica traslacionalmente.

Ahora bien, ¿cuál es la relación con la representación unitaria del grupo de traducción? Bueno, deja$U(a)$,$a\in \mathbb{R}^2$ser tal representación, es decir$U(a)$son operadores unitarios en el espacio de Hilbert$H$de la teoría tal que$U(a)U(b)=U(a+b)$. Si además se mantiene

$$\begin{equation} U(a)\vert 0\rangle=\vert 0\rangle \qquad(1) \end{equation}$$ y $$U(a)\Phi(x)U^{-1}(a)=\Phi(x+a)\qquad (2)$$ entonces vemos fácilmente que las identidades de Ward $(Ward)$están satisfechos por cada $n$. Así, observamos que la existencia de la representación unitaria del grupo de traslación tal que se cumplan las condiciones (1) y (2) produce la simetría de traslación de la teoría cuántica de campos en el sentido de que se verifican las identidades de Ward. Por cierto, la condición (2) a menudo se reformula diciendo que la transformación de traducción $x\to x+a$es "implementado" por el operador unitario $U(a)$actuando sobre el espacio de Hilbert. La versión infinitesimal de la relación (2) dice $$i[P,\Phi(x)]=\partial_x\Phi(x)$$ dónde $U=\exp{(iaP)}$y $P$representan generadores infinitesimales (álgebra de Lie) de las traslaciones. En este sentido debe entenderse la fórmula de Gaberdiel (3.2.26) donde no solo se implementan las transformaciones traslacionales sino todas las infinitesimales conformes.

No me embarcaré aquí en una descripción detallada de las identidades de Ward para la simetría conforme, porque no es un tema de su pregunta (se pueden encontrar, por ejemplo, en el artículo fundacional de BPZ en NPB, 1984) Permítanme mencionar que la historia es en este caso un poco más complicado, porque la simetría conforme se rompe suavemente por el vacío no invariante, por lo que las identidades de Ward son "anómalas". De todos modos, permítanme terminar la primera parte de mi respuesta diciendo que la teoría del campo conforme es simplemente la teoría que satisface las identidades conformes de BPZ Ward

En cuanto a la transición del cilindro al plano: Quizás la mejor manera de comenzar la exposición es mencionar la reformulación de Eguchi-Ooguri de las identidades conformes de BPZ Ward (NPB, 1987). Eguchi y Ooguri trabajan en la imagen euclidiana y acoplan campos dinámicos de un CFT a un campo gravitacional de fondo no dinámico (métrica de Riemann).$g_{ab}$) en la hoja del mundo. En particular, postulan que una teoría de campo se llama conforme solo si sus funciones de correlación cambian de una manera particular si reemplazamos la métrica de fondo$g_{ab}$por$e^{\sigma}g_{ab}$, dónde$\sigma$es una función arbitraria en la hoja del mundo. Esto significa que las derivadas funcionales de las funciones de correlación con respecto al factor de Weyl$\sigma$debe tener una forma particular y las expresiones cuantitativas correspondientes de este hecho pueden llamarse las identidades de Eguchi-Ooguri Ward. El resultado es que las identidades estándar de BPZ Ward se pueden derivar de las identidades de Eguchi-Ooguri Ward. Todo esto significa que si conocemos las funciones de correlación en un fondo gravitacional dado$g_{ab}$podemos calcularlos también en el fondo "equivalente de Weyl"$e^{\sigma}g_{ab}$. Esta observación es muy útil ya que podemos estudiar algunos aspectos cuantitativos de la teoría CFT en un trasfondo y otros aspectos en algún otro trasfondo relacionado con Weyl. El principal ejemplo de esta situación es precisamente la transición del cilindro al plano. Las funciones de correlación de las teorías CFT en las coordenadas euclidianas planas naturales en el plano tienen propiedades analíticas muy agradables (la llamada relación OPE de Borcherds fundamental tiene la forma más agradable posible), mientras que la teoría en el cilindro es más útil para la construcción del espacio de Hilbert. de la teoría y por ejemplo cuestiones relacionadas con las representaciones del álgebra de Virasoro. Permítanme agregar algunos detalles técnicos sobre este punto.

Considere la métrica euclidiana en el plano euclidiano$ds_1^2=dx^2+dy^2$, y la métrica plana en el cilindro$ds_2^2=d\phi^2+d\rho^2$, dónde$\rho$es la coordenada a lo largo del eje del cilindro y$\phi$es el ángulo "coordenada" a su alrededor. A pesar de que$\phi$no está definido globalmente, el siguiente mapa que relaciona el plano y el cilindro está definido globalmente:

$$x=e^\rho\cos{\phi}, \quad y=e^\rho\sin{\phi}.$$ Usando esta transformación, observamos que el cilindro puede ser parametrizado por las coordenadas del plano $x,y$en el que la métrica $ds_2^2$se convierte $$ds_2^2=\frac{1}{x^2+y^2}(dx^2+dy^2).$$ Observamos que el factor de Weyl $\sigma=-$en $(x^2+y^2)$considerado en el formalismo Eguchi-Ooguri ha surgido naturalmente y, debido a las identidades de Eguchi-Ooguri Ward, existe una relación de uno a uno entre las funciones de correlación de una teoría CFT en el plano y de su teoría CFT "prima" en el cilindro

¿Cuál es entonces la cuantización radial? En mi opinión, la palabra cuantización es un término erróneo y más bien debería hablarse de una "reconstrucción radial". Lo que quiero decir es lo siguiente: las identidades de BPZ Ward generalmente se formulan en el plano complejo donde toman una forma particularmente simple. Una vez que tengamos una teoría de campo conforme euclidiana en el plano (es decir, las funciones de correlación que verifican las identidades de BPZ Ward) nos gustaría saber si existe una versión de Minkowski de esta teoría con su espacio de Hilbert y con sus distribuciones de valores de operador en tal de manera que los valores medios de esas distribuciones en el vacío producen (sobre una rotación adecuada de Wick) las soluciones euclidianas originales de las identidades de BPZ Ward. A este respecto, debemos enfatizar que el Minkowski CFT vive siempre en el cilindro.Esto quiere decir que, trabajando sobre el plano, no podemos tomar como tiempo euclidiano al ser Wick girado una coordenada plana$x$o$y$pero el verdadero tiempo euclidiano es en cambio:$\rho=\frac{1}{2}$en$(x^2+y^2)$que es simplemente el logaritmo del radialcoordenada polar en el plano. El verdadero "espacio" de la teoría cuántica de campos de Minkowski es cualquier círculo en el plano euclidiano centrado en el origen. La "reconstrucción radial" es entonces una forma de construir el espacio de Hilbert de la versión de la teoría de Minkowski, el operador valora las distribuciones y los generadores de Virasoro trabajando directamente en el plano sin realizar la transformación de coordenadas al cilindro. El resultado es la teoría cuántica habitual con su espacio de Hilbert, operadores, etc., por lo que parece una cuantización, pero en realidad el punto de partida no es una historia clásica, sino también cuántica, aunque en el sentido euclidiano. Permítanme concluir con una advertencia de que la reconstrucción radial no siempre funciona, es decir, no todas las soluciones de las identidades Euclidianas de BPZ Ward conducen a una teoría cuántica de campos de Minkowski.

No estoy realmente calificado para responder, pero creo que puedo dar una pista sobre su primera pregunta.

Primero, hay que pensar en el campo.$\phi$como operador. En particular, tiendo a pensar en$\phi$como una combinación lineal

$$\hat\phi(z,\bar z) = \int dz d\bar z\ \phi(z,\bar z) \Psi^\dagger(z,\bar z)$$

de operadores$\Psi^\dagger(z,\bar z)$que crean partículas en posiciones$(z,\bar z) = (x+iy,x-iy)$(dónde$x$y$y$son las coordenadas independientes en el plano). La construcción en términos de modos normales es similar, excepto que usa una base diferente, no posiciones sino modos (principalmente porque crear una partícula que localizó precisamente en un punto tiene sus problemas matemáticos).

EDITAR: Lo siguiente no es muy preciso.

Ahora bien, ¿qué significa para el operador$\mathcal L(\phi, \partial\phi)$ser invariante bajo un operador de simetría$T$? Simplemente significa que ambos operadores viajan,

$$[T,L(\phi, \partial\phi)] = 0$$

Ahora, si el operador de simetría$T=L_n$cumple la relación de conmutador en cuestión, y el lagrangiano como función es invariante bajo transformaciones conformes, entonces se sigue que el lagrangiano como operador conmuta con$T$. La razón es que la relación del conmutador para$L_n$hace$[L_n,·]$actuar sobre el operador lagrangiano exactamente como la simetría conforme correspondiente actúa sobre la función lagrangiana. (Creo que esto se puede mostrar usando la imagen de arriba de$\phi$como operador).