Libros para empezar con el análisis

Estoy interesado en el autoaprendizaje del análisis real y me preguntaba qué libro de texto debería elegir.

Sé todas las matemáticas de secundaria, he leído Cómo probarlo de Daniel J. Velleman (hice la mayoría de los ejercicios). Completé un curso de cálculo computacional que cubrió todo hasta e incluyendo la integración por partes (incluido el método de sustitución y las sumas de Riemann)

Actualmente estoy considerando:

Por lo que he oído, esto no es muy adecuado para el autoaprendizaje y, si bien los ejercicios son extremadamente difíciles, si se toma el tiempo, vale la pena el esfuerzo.

Escuché que si bien Spivak explica las demostraciones con mucho más detalle que los Principios , no cubre todo el material de este último.

No sé mucho sobre esto. Solo he visto algunos comentarios que dicen que es una excelente introducción al análisis.

Edición de aclaración adicional:

Preferiría un libro que no "embruteciera" el material, algo que no me sujetara de la mano en cada paso, algo que me obligara a llenar los vacíos yo mismo en lugar de explicar cada paso. Es por eso que actualmente me inclino por Rudin, pero antes de decidirme todavía me gustaría alguna información sobre el libro de Apostol.

Le sugiero que mire las conferencias de Francis Su en youtube. son excelentes Creo que está usando "Baby Rudin" con su clase. Rudin es un poco opaco sin alguien que a veces explique las pruebas. Pero generalmente se considera la autoridad.
Rudin sería una muy mala elección para el autoaprendizaje. Spivak's es bueno hasta donde llega. Siempre puedes probar con un libro un poco más ambicioso y recurrir a Spivak si es necesario. Recomendaría echar un vistazo a Elementary Real Analysis de Thomson/Bruckner/Bruckner . Es una descarga gratuita (legal), por lo que no pierde nada si lo comprueba ahora. Creo que el libro de Abbott es muy bueno, pero deja muchos resultados como ejercicios, por lo que puede que te resulte molesto (o no).
He leído a Rudin para estudiar por mi cuenta, y diría que es una muy mala elección de palabras decir que este libro es una mala elección. La conclusión es: lea los libros (al menos eche un vistazo a sus interiores) y obtenga su propia opinión. Los libros son una cuestión de gusto más de lo que a la gente le gustaría admitir que es. Pero el libro es considerado una autoridad en todo el mundo por una razón.
Si realmente desea realizar un autoaprendizaje de análisis real (es decir, no con el propósito de complementar su educación universitaria y obtener un título), entonces una muy buena opción es optar por "Un curso de matemáticas puras" de Hardy para cosas elementales (es decir, hasta la integración de funciones continuas) seguido del "Análisis matemático" de Apostol (para la integral de Riemann/Lebesgue y la serie de Fourier).

Respuestas (3)

El libro de Rudin es demasiado abstracto en cierto sentido porque requiere cierto conocimiento o sentido de la topología métrica. Aunque Rudin explica la teoría básica, no creo que esto no sea apropiado para principiantes.

El cálculo de Spivak es "cálculo". Aunque es bastante duro, no es un libro para el análisis de pregrado.

Recomiendo tres libros:

  • Ross, Análisis elemental: la teoría del cálculo
  • Marsden y Hoffman, Análisis clásico elemental
  • Apostol, Análisis Matemático

Ross ayuda al lector a comprender el análisis real unidimensional. Da muy buenos ejemplos y problemas de ejercicios apropiados. Pero el libro no cubre cosas multivariables.

Marsden y Hoffman dan toneladas de ejemplos y problemas de ejercicios interesantes. Aunque es todo un desafío para el lector, el libro ofrece muchas imágenes y una buena explicación del tema. Aunque alguna parte se basa en una configuración dimensional superior, es bastante legible. Recomiendo encarecidamente este libro. Si lee este libro, debe saber que la definición de compacidad en este libro es 'compacidad secuencial'.

Finalmente, el libro de Apostol da detalles casi completos de la prueba. Cubre muchos temas. Tal vez este libro sea más apropiado para personas que quieren conocer temas más avanzados.

Escuché que uno de mis amigos dice que el Análisis matemático real de Pugh es bueno, pero no leí ese libro.

Un comentario más: quiero sugerir un buen complemento para el cálculo multivariable escrito por Shurman.

Me entristece no haber descubierto esta estrategia hace años, pero ¿ha intentado leer las reseñas de MAA ?

La MAA ha revisado los 4 libros de texto que enumeró. Y puedes leer reseñas de otros libros.

Sugeriría de todo corazón el Análisis I y el Análisis II de Tao . Creo que la clase para la que se originó el libro como notas de clase usaba Rudin. Las pruebas de Tao son mucho menos concisas que las de Rudin, y él parte de los axiomas de Peano y construye los números reales, lo que creo que es una excelente manera de comenzar un texto de análisis real. Además, Tao deja muchas pruebas al lector, pero lo hace de una manera increíblemente pedagógica.

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