¿A qué equivale realmente la derivación de Hartle de la regla de Born?

Se han hecho muchas preguntas aquí sobre el tema de si la regla de Born se puede derivar del resto de los axiomas de la mecánica cuántica. Véase, por ejemplo, este y los enlaces que contiene. Sin embargo, quiero preguntar sobre una derivación específica de la regla de Born debido a Jim Hartle, arXiv:quant-ph/1907.02953v1 , que es una$2019$arXiv reenvío de su artículo original de 1968 en American Journal of Physics . Uno puede ver este artículo referenciado, entre otros lugares , en la famosa conferencia Dirac de Sidney Coleman originalmente titulada "Mecánica cuántica en tu cara" en la discusión de cómo surgen las probabilidades en la mecánica cuántica. Hartle deriva la regla de Born simplemente dentro del marco estándar de la mecánica cuántica al hacer algo bastante inteligente, pero no entiendo exactamente cómo equivale a derivar la regla de Born y, si no es así, a qué equivale realmente. Por lo que puedo ver, esta pregunta no se ha discutido aquí antes .

Bien, entonces, ¿qué hace Hartle?

• Hartle considera un conjunto de$N$sistemas cuánticos preparados idénticamente denotados por$\vert \psi^N\rangle\equiv\otimes_{i=1}^{N}\vert\psi\rangle$que vive en el espacio conjunto de Hilbert construido por el producto tensorial$\mathcal{H}^N$dónde$\mathcal{H}$es el espacio de Hilbert de un sistema cuántico individual, es decir,$\vert \psi\rangle\in\mathcal{H}$.

• Se puede considerar un observable$A=\sum_ka_k\vert a_k\rangle\langle a_k\vert$encima$\mathcal{H}$tal que$\vert\psi\rangle$no es necesariamente un estado propio de$A$.

• Ahora, Hartle construye un operador de frecuencia $f_k^N$sobre el conjunto espacio de Hilbert$\mathcal{H}^N$correspondiente a un valor propio$a_k$de lo observable$A$definido como

  $$\begin{align} f_k^N\equiv\sum_{i_1i_2...i_N}\vert a_{i_1}\rangle\otimes\vert a_{i_2}\rangle\otimes...\otimes\vert a_{i_N}\rangle\Big(\frac{1}{N}\sum_{\alpha=1}^{N}\delta_{i_{\alpha}k}\Big)\langle a_{i_N}\vert\otimes...\otimes\langle a_{i_2}\vert\otimes\langle a_{i_1}\vert \end{align}$$ tal que está diagonalizado por los estados propios de$A^N$y el valor propio de$f_k^N$correspondiente a un estado propio de$A^N$es la frecuencia relativa del valor propio$a_k$en este estado propio, es decir,
  $1/N$veces el número de veces$\vert a_k\rangle$aparece en el producto tensorial creado al tomar un estado propio de$\vert A\rangle$de cada uno de los factores de$\mathcal{H}^N$. Espero que el desorden de notación no le quite la simplicidad conceptual de la definición del operador y la comprensión de por qué el nombre "operador de frecuencia" está (al menos hasta ahora) justificado.

• Ahora, algo dramático sucede en el límite$N\to\infty$. en el limite$N\to\infty$, Hartle muestra que todos los estados de la forma$\vert \psi^N\rangle$ son estados propios de este operador de frecuencia con el valor propio dado por, lo adivinaste,$\vert\langle\psi\vert a_k\rangle\vert^2$.

OK, todo eso es puramente deductivo, a menos que uno encuentre un error en las matemáticas, nada que uno realmente pueda objetar. Donde radica la esencia de mi confusión es en lo que Hartle afirma que ha hecho al hacer el cálculo antes mencionado.

¿Qué afirma Hartle?

• Hartle afirma que, dado que se puede decir que una cantidad tiene un valor bien definido para un sistema cuántico si y solo si el sistema cuántico está en un estado propio del operador correspondiente, se debe decir que, dado que$\vert \psi^\infty\rangle$es un estado propio del operador de frecuencia$f_k^{\infty}$, hay un valor bien definido para la frecuencia (relativa) del valor propio$a_k$en este conjunto incluso si el estado$\vert \psi\rangle$no es un estado propio de lo observable$A$. Como ya se demostró, esta frecuencia (relativa) viene dada, en particular, por$\vert\langle\psi\vert a_k\rangle\vert^2$.
• Por lo tanto, afirma Hartle, lo que hemos demostrado es que las frecuencias (relativas) de los resultados de la medición de$A$se puede predecir para cualquier estado dado$\vert\psi\rangle$y vienen dados por la regla de Born.

Lo que no entiendo...

• No entiendo cómo esta demostración dice algo sobre cuáles serían las frecuencias (relativas) de los resultados cuando medimos$A$en un estado$\vert\psi\rangle$que no es un estado propio de$A$. En particular, creo que Hartle toma el nombre "operador de frecuencia" demasiado en serio y le atribuye el significado de algo que da "la frecuencia (relativa) de obtener un cierto valor propio en una medición", mientras que su definición simplemente nos dice que es un operador que nos da "la frecuencia (relativa) de las ocurrencias de un valor propio de$A$en un conjunto que ya es un estado propio de$A^N$".

• Claro, es interesante que todos$\vert\psi^N\rangle$se convierten en estados propios de este operador en el límite$N\to\infty$pero no nos dice que hemos descubierto una ley de probabilidad y más bien nos dice que el operador que hemos construido tiene propiedades peculiares en el límite$N\to\infty$. En particular, que en el caso de un finito$N$, solo está diagonalizado por estados que en realidad tienen un número bien definido de ocurrencias del valor propio$a_k$, pero en el$N\to\infty$está diagonalizado por estados que no tienen esta propiedad. Después de todo, un operador es simplemente lo que ha sido definido para ser, y no tiene la obligación de preservar su comportamiento cualitativo durante la transición de finito$N$hacia$N\to\infty$límite.

• En un nivel más básico, si no tiene algo equivalente a un postulado de colapso de algún tipo, no hay respuesta a la pregunta de qué sucede cuando "mide" (que también tiene que definir de alguna manera) un observable sobre un estado que no está en un estado propio de lo observable. No sabes si la medida simplemente no arroja nada o si arroja un valor propio con alguna probabilidad o si todo el universo explota. Lógicamente hablando, el formalismo es simplemente silencioso.

• En otras palabras, creo que existe un principio de "basura que entra, basura que sale" con respecto a las probabilidades/colapso. Tiene que introducir algo no trivial en el formalismo que da lugar a algo parecido a un colapso para obtener resultados definidos con algunas probabilidades cuando mide un estado no propio. Por lo que puedo ver, no hay nada en el argumento de Hartle que haga esto, por lo que debería ser una conclusión inevitable que él no puede derivar la regla de Born.

• Ahora bien, si tales objeciones son correctas, entonces aún debe responderse lo que Hartle realmente mostró porque su resultado seguramente es peculiar e interesante.