¿El teorema de Gleason implica la regla de Born?

Creo que he entendido su pregunta ahora (y eliminé mi respuesta anterior porque en realidad se refería a la pregunta incorrecta). Déjame tratar de resumir.

Por un lado tenemos una función de onda$\psi$en el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb R)$para un sistema cuántico dado$S$y sabemos que$\psi$determina el estado de$S$en algún sentido (no especificado): se puede usar para extraer probabilidades de transición y probabilidades de resultados al medir observables.

($\psi$podría surgir de alguna analogía óptica - mecánica y puede tener algún significado diferente al de la interpretación de Copenaghen, por ejemplo, una onda de Bohm.)

Por otra parte sabemos, por el teorema de Gleason, que una medida de probabilidad (extrema para ceñirnos al caso más simple) asociada a$S$se puede ver como una función de onda$\phi \in L^2(\mathbb R)$y la regla de Born ahora se puede usar con seguridad para calcular las diversas probabilidades de los resultados.

Le gustaría entender si necesariamente$\psi=\phi$hasta fases como consecuencia del teorema de Gleason.

Sin más requisitos sobre el procedimiento para extraer probabilidades de transición (solo dice que las probabilidades de transición se pueden extraer de$\psi$con algún procedimiento no especificado) no es posible concluir que$\psi=\phi$hasta fases a pesar del teorema de Gleason.

Solo podemos concluir que debe haber un mapa inyectivo

Un ejemplo trivial de$F$es

Evidentemente, este mapa no es físico, ya que no hay una forma razonable de arreglarlo.$\chi$y, asumiendo esta forma de$F$, algún argumento basado en la homogeneidad del espacio físico descartaría$\chi$. Sin embargo, funciones mucho más complicadas$F$(no afines ni lineales) y en ausencia de más requisitos físicos en la correspondencia$\psi$-$\phi_\psi$(por ejemplo, se puede suponer que esta correspondencia conserva algún principio de superposición) o en la forma de extraer probabilidades de$\psi$, el teorema de Gleason por sí solo no puede establecer la forma de$F$.

Creo que el teorema de Gleason necesita la hipótesis adicional de no contextualidad para implicar la regla de Born. Uno podría, en principio, introducir otras medidas de probabilidad, pero entonces viola la no contextualidad. Véase este documento, por ejemplo.

El teorema de Gleason (GT) dice que toda medida sobre el espacio de estados que obedece a las reglas del cálculo de probabilidades viene dada por la regla de Born para algún estado. Esto no implica la regla Born por varias razones.

GT no elige ningún estado en particular como anotaste. Hay otro problema relacionado. Hay circunstancias en las que las "probabilidades" predichas por la regla de Born rompen las reglas del cálculo de probabilidades, por ejemplo, durante los experimentos de interferencia:

https://arxiv.org/abs/math/9911150 .

Entonces se necesita una explicación de cuándo el número dado por la regla de Born respeta las reglas de probabilidad. Esa explicación implica decoherencia, que también selecciona el conjunto de estados posibles:

https://arxiv.org/abs/1404.2635

Hay otros problemas explicativos con el uso de la probabilidad en la física en general:

https://www.youtube.com/watch?v=wfzSE4Hoxbc

y GT no hace nada para solucionar esos problemas.

Un problema particular con el uso de la probabilidad es que la regla de Born simplemente se postula en todas las interpretaciones de colapso de la mecánica cuántica, lo que significa que ninguna de ellas puede dar ninguna explicación al respecto.

No. Creo que se requieren pocas suposiciones adicionales para pasar del teorema de Gleason a la regla de Born. Primero estableceré el teorema tal como se da en wikipedia .

Teorema de Gleason: suponga un espacio de Hilbert de dimensión finita$\mathcal H$con dimensión$d>2$. Dejar$f$ser una función 'no contextual' de los operadores de proyección al intervalo unitario con la propiedad de que para cualquier proyector$\Pi$,

Aquí, no contextualidad significa que$f(\Pi)$depende solo del proyector$\Pi$y no de la elección de los otros proyectores ortogonales que se están midiendo simultáneamente.

Ahora bien, si un conjunto$\{\Pi_i\}$de operadores de proyección suman a la matriz identidad (es decir, si corresponden a una base ortonormal), entonces

Entonces el teorema de Gleason dice que existe una matriz de densidad$\sigma$tal que

......

Ahora, daré un ejemplo contradictorio de asignación de probabilidad para el estado que concuerda con el teorema de Gleason pero no con la regla de Born.

Dejar$P(\rho, \Pi_i)$denota la probabilidad de obtener el resultado$i$cuando el estado del sistema es$\rho$. Entonces, del teorema de Gleason, sabemos que para alguna matriz de densidad$\sigma$,

La pregunta es, esta sería la regla de Born solo si para cada elección de$\rho$,$\sigma=\rho$esta elegido. Imagine lo que sucedería si, en cambio, elegimos la siguiente regla para la asignación de probabilidad:

dónde$U_\rho$es un Unitario arbitrario que depende de$\rho$. El teorema de Gleason no descarta este tipo de asignación de probabilidad.

¿Qué suposición extra nos puede dar la regla de Born? Puedo pensar en dos suposiciones que hacen el trabajo.

1. Si$Tr[\Pi \rho]=0$después$P(\rho, \Pi)=0$.
2. $P(\alpha_1\rho_1 + \alpha_2\rho_2, \Pi)=\alpha_1 P(\rho_1, \Pi) + \alpha_2 P(\rho_2, \Pi)$, dónde$\alpha_i$son números reales no negativos con$\alpha_1 + \alpha_2=1$

Ahora, por estado puro$\rho$en$\eqref{genprob}$(es decir$\rho= |\psi\rangle \langle \psi|$), el supuesto (1) causa$U(\rho)$volverse banal. es decir$U(\rho)\rho U^{\dagger}(\rho)=\rho$. Esto es porque si$U(\rho)\rho U^{\dagger}(\rho)=\rho'\neq\rho$, luego considere una base que contiene$\Pi_1=|\psi\rangle \langle \psi|$. Entonces para$j\neq 1$existe un proyector$\Pi_j$ortogonal a$\Pi_1$en esta base tal que$P(\rho, \Pi_j)=tr[\Pi_j \rho']\neq0$a pesar de que$Tr[\Pi_j \rho]=0$. Esto contradice la suposición (1).

Por lo tanto, la regla de Born se sigue de la suposición (1) y del teorema de Gleason para estados puros$\rho$. El supuesto (2) se ocupa del caso del estado impuro.