¿Por qué el teorema virial de la mecánica cuántica se cumple para el oscilador cuántico pero no para el cuadrado infinito?

¿Por qué el teorema virial de la mecánica cuántica se cumple para el oscilador cuántico pero no para el cuadrado infinito? La prueba utiliza el teorema de Ehrenfest, por lo que me preguntaba si tenía algo que ver con las condiciones de contorno y cómo la partícula no se comporta de forma clásica. El teorema es el siguiente:

Considere un sistema cuántico donde ψ representa un estado estacionario que satisface d < X ^ pag ^ > / d t = 0 . Entonces,

2 < T ^ >=< X ^ d V ^ d X > .

Estoy bastante seguro de que el teorema virial solo se aplica a los potenciales de fuerza central que tienen una dependencia de la ley de potencia en el radio

Respuestas (1)

  1. Calculamos

    0   =   d d t ⟨ ψ | X ^ pag ^ | ψ ⟩   =   1 i ℏ ⟨ ψ | [ X ^ pag ^ , H ^ ] | ψ ⟩
      =   1 i ℏ ⟨ ψ | X ^ [ pag ^ , V ^ ] − [ T ^ , X ^ ] pag ^ | ψ ⟩   =   2 ⟨ ψ | T ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | X ^ V ^ ′ ( X ^ ) | ψ ⟩ .

  2. OP quiere considerar el potencial del pozo cuadrado infinito .

  3. Al principio puede ser tentador considerar el intervalo de caja [ − a , a ] como espacio de posición completo, y poner el potencial V = 0 a cero en todas partes. El problema con ese enfoque es que la dinámica no respetará las condiciones de contorno. ψ ( X = ± a , t ) = 0 .

  4. Queremos que las condiciones de contorno sean consecuencias del potencial. Por lo tanto, el potencial no debe ser trivial.

  5. Por tanto, el problema es que la derivada V ′ ( X ) no está bien definido en los puntos finales del intervalo de caja [ − a , a ] .

  6. Una posible regularización es considerar el potencial del pozo cuadrado finito

    V ( X ) = V 0   θ ( | X | − a ) , V 0   <   ∞ ,
    en el eje real R , donde se aplica el teorema. Entonces la derivada V ′ ( X ) es una distribución delta de Dirac. A continuación, considere el límite V 0 → ∞ .

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