¿Es la regla de Born un postulado fundamental de la mecánica cuántica?

Estrictamente hablando, la regla de Born no puede derivarse de la evolución unitaria; además, en cierto sentido, la regla de Born y la evolución unitaria son contradictorias entre sí, ya que, en general, un resultado definido de la medición es imposible bajo la evolución unitaria: ninguna medición es definitiva. ya que la evolución unitaria no puede producir irreversibilidad o convertir un estado puro en una mezcla. Sin embargo, en algunos casos, la regla de Born puede derivarse de la evolución unitaria como un resultado aproximado; consulte, por ejemplo, el siguiente trabajo destacado: http://arxiv.org/abs/1107.2138(aceptado para publicación en Physics Reports). Los autores muestran (sobre la base de un modelo de medidas rigurosamente resoluble) que la irreversibilidad del proceso de medida puede surgir de la misma manera que la irreversibilidad en la física estadística: los tiempos de recurrencia se vuelven muy largos, infinitos a todos los efectos prácticos, cuando el aparato contiene una cantidad muy grande. número de partículas. Sin embargo, para un número finito de partículas hay algunas violaciones de la regla de Born (ver, por ejemplo, el trabajo antes mencionado, p. 115).

El uso de la palabra "postulado" en la pregunta puede indicar una suposición no examinada de que debemos o deberíamos discutir este tipo de cosas usando una imitación del enfoque axiomático de las matemáticas, un estilo de física que se puede hacer bien o mal y que se remonta a la falsa presentación euclidiana de los Principia . Si tomamos esa decisión, entonces, en mi opinión, el comentario de Luboš Motl dice todo lo que hay que decir. ( Teorema de Gleasony el bayesianismo cuántico (Caves 2001) también podría valer la pena considerarlo). Sin embargo, el enfoque pseudo-axiomático tiene limitaciones. Por un lado, casi siempre es demasiado difícil de manejar para ser utilizado para algo más que teorías de juguetes. (Una de las únicas excepciones que conozco es Fleuriot 2001). Además, aunque los matemáticos están felices de trabajar con términos primitivos indefinidos (como en el dicho de Hilbert sobre mesas, sillas y jarras de cerveza), en física, términos como "fuerza" o "medida" puede tener definiciones informales u operativas preexistentes, por lo que tratarlas como nociones primitivas puede ser, de hecho, una especie de descuido intelectual enmascarado por la apariencia superficial del rigor matemático.

Entonces, ¿qué pueden decir los argumentos físicos sobre la regla de Born?

La regla de Born se refiere a medidas y probabilidad, las cuales pueden ser imposibles de definir rigurosamente. Pero nuestra noción de probabilidad siempre implica normalización. Esto sugiere que solo deberíamos esperar que la regla de Born se aplique en el contexto de la mecánica cuántica no relativista, donde no hay aniquilación o creación de partículas. Efectivamente, la ecuación de Schrödinger, que no es relativista, conserva la probabilidad definida por la regla de Born, pero la ecuación de Klein-Gordon, que es relativista, no .

Esto también da una justificación de por qué la regla de Born no puede involucrar alguna otra potencia uniforme de la función de onda: la ecuación de Schrödinger no conservaría la probabilidad. Aaronson 2004 da algunos otros ejemplos de cosas que salen mal si intentas cambiar la regla de Born usando un exponente que no sea 2.

El OP pregunta si la regla Born se deriva de la unitaridad. No es así, ya que la unitaridad se cumple tanto para la ecuación de Schrödinger como para la ecuación de Klein-Gordon, pero la regla de Born solo es válida para la primera.

Aunque los fotones son inherentemente relativistas, hay muchas situaciones, como la interferencia de dos fuentes, en las que no hay creación o aniquilación de fotones, y en tal situación también esperamos tener probabilidades normalizadas y poder usar "charla de partículas". (Halvorson 2001). Esto es bueno porque para los fotones, a diferencia de los electrones, tenemos una teoría de campo clásica para comparar, por lo que podemos invocar el principio de correspondencia. Para la interferencia de dos fuentes, claramente la única forma de recuperar el límite clásico en un gran número de partículas es si el cuadrado de la "función de onda" ($\mathbf{E}$y$\mathbf{B}$campos) es proporcional a la probabilidad. (Hay una gran cantidad de literatura sobre este tema de la "función de onda" del fotón. Consulte Birula 2005 para una revisión. Mi único punto aquí es dar un argumento de plausibilidad física. Básicamente, la versión más ingenua de este enfoque funciona bien si la onda es monocromática y si su detector intercepta una parte de la onda que es lo suficientemente pequeña como para parecer una onda plana). Dado que la regla de Born tiene que cumplirse para la "función de onda" electromagnética y las ondas electromagnéticas pueden interactuar con la materia, claramente tiene que cumplirse para partículas materiales también, o de lo contrario no tendríamos una noción consistente de la probabilidad de que un fotón "esté" en un lugar determinado y la probabilidad de que el fotón sea detectado en ese lugar por un detector de material.

La regla de Born dice que la probabilidad no depende de la fase de la función de onda compleja de un electrón.$\Psi$. Podríamos preguntarnos por qué la regla de Born no puede depender de alguna función de valor real como$\operatorname{\arg} \Psi$o$\mathfrak{Re} \Psi$. Hay una buena razón física para esto. Existe una relación de incertidumbre entre la fase$\phi$y número de partículas$n$(Carruthers 1968). Para los fermiones, la incertidumbre en$n$en un estado dado siempre es pequeña, por lo que la incertidumbre en fase es muy grande. Esto significa que la fase de la función de onda del electrón no puede ser observable (Peierls 1979).

He visto la opinión expresada de que la interpretación de muchos mundos (MWI) no puede explicar la regla Born, y que esto es un problema para MWI. No estoy de acuerdo, ya que ninguno de los argumentos anteriores dependía de ninguna manera de la elección de una interpretación de la mecánica cuántica. En la interpretación de Copenhague (CI), la regla de Born aparece típicamente como un postulado, que se refiere a la noción primitiva indefinida de "medida"; No considero esto una explicación. A menudo visualizamos el MWI en términos de una bifurcación del universo en el momento en que tiene lugar una "medición", pero esta discontinuidad es en realidad solo una caricatura del proceso fluido por el cual las correlaciones mecánico-cuánticas se extienden por el universo. En general, Las interpretaciones de la mecánica cuántica son explicaciones de la experiencia psicológica de hacer experimentos de mecánica cuántica. Dado que son explicaciones psicológicas, no físicas, no deberíamos esperar que expliquen un hecho físico como la regla de Born.

Aaronson, "¿Es la mecánica cuántica una isla en el espacio teórico?", http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401062

Bialynicki-Birula, "Función de onda de fotones", 2005, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0508202

Carruthers y Nieto, "Variables de fase y ángulo en mecánica cuántica", Rev Mod Phys 40 (1968) 411; copia disponible en http://www.scribd.com/doc/147614679/Phase-and-Angle-Variables-in-Quantum-Mechanics (puede ser ilegal o puede ser de uso justo, según su interpretación de las leyes de su país) )

Caves, Fuchs y Schack, "Probabilidades cuánticas como probabilidades bayesianas", 2001, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0106133 ; véase también Scientific American , junio de 2013

Fleuriot, Una combinación de demostración de teoremas geométricos y análisis no estándar con aplicación a los principios de Newton , Springer, 2001

Halvorson y Clifton, "¿No hay lugar para las partículas en las teorías cuánticas relativistas?", 2001, http://philsci-archive.pitt.edu/195/

Peierls, Sorpresas en física teórica , sección 1.3

Este es claramente un tema un tanto controvertido, pero Zurek afirmó derivar la regla de nacimiento de otros postulados.

La idea de derivar la regla de Born (y, de hecho, todo el postulado de medición) a partir de la evolución unitaria habitual de los sistemas cuánticos está en el corazón mismo de una interpretación realista de la teoría cuántica. Si el estado cuántico realmente describe el verdadero estado interno de un sistema y la medición es solo un cierto tipo de interacción, entonces debería haber una sola ley para la evolución del tiempo.

Sin embargo, la teoría cuántica es fundamentalmente no local y la separación de sistemas es conceptualmente difícil, lo que hace que el observador y el experimento sean imposibles de describir por separado. Sin embargo, debe haber un sistema que contenga ambas partes y que siga una ley simple de evolución temporal. Por supuesto, el candidato obvio para tal ley es la evolución unitaria, simplemente porque eso es lo que observamos para los sistemas que aislamos lo mejor posible.

Por lo general, se argumenta que esta ruta conduce a la interpretación de Everett de la teoría cuántica, donde las observaciones son relativas al observador y se realizan mediante estados entrelazados. Ha habido varios intentos de derivar la regla de Born en este contexto, pero todos los que parecen válidos requieren suposiciones adicionales que son cuestionables (y de hecho pueden ser inconsistentes con el enfoque realista u otras suposiciones fundamentales).

La razón por la que no puede haber una derivación que solo use la evolución unitaria ordinaria y resulte en la regla de Born no es ni siquiera la unitaridad sino la linealidad de la teoría. Digamos que hay una evolución que elimina la entrada de la salida de la medición, y decidimos medir a|A>+b|B> en la base {|A>,|B>}. Luego, independientemente del entorno, la regla de Born predice que |A> y |B> son invariantes bajo medición. Una superposición (|A>+B>)/sqrt(2) debe terminar en |A> o |B> dependiendo de un posible estado del entorno si se aplica la regla Born. Sin embargo, la linealidad de la teoría requiere que el resultado sea una superposición de |A> y |B> (aunque la fase puede cambiar).

La respuesta de Everett a este problema es que surge la superposición, pero con los resultados entrelazados con el observador viendo cualquiera de los resultados. Pero esto crea dos observadores que desconocen su propia amplitud. Debido a la linealidad, su evolución futura es independiente de la amplitud de la rama y, por lo tanto, es difícil argumentar que cualquier aspecto de su realidad percibida dependa de la amplitud de la rama.

Curiosamente, los enfoques para solucionar este problema, como el uso de la teoría de la decisión, el conteo avanzado de ramas, etc., de alguna forma introducen un elemento no lineal en la teoría. Ya sea una medida de amplitud de rama, una amplitud de corte o discretización de amplitud, una regla de estabilidad (envarianza o darwinismo cuántico). También hay enfoques que no ocultan la no linealidad en suposiciones adicionales que pueden chocar con la evolución lineal. Esas son variaciones no lineales explícitas de la ecuación de Schroedinger que, de hecho, pueden producir una evolución que permita que surja la regla de Born. Por supuesto, esto no es algo que la mayoría de los teóricos acepten, simplemente porque la linealidad de la teoría cuántica es una característica muy atractiva.

Pero hay un enfoque más que yo personalmente prefiero. La no linealidad podría ser solo subjetiva para un observador, causada por un conocimiento incompleto sobre el universo. Un observador, es decir, un mecanismo local realizado dentro de la teoría cuántica, solo puede recopilar información interactuando con su entorno. Sin embargo, cierta información es inaccesible dinámicamente, oculta fuera del cono de luz del observador o simplemente no está disponible para la interacción directa. Teniendo en cuenta esto, se puede demostrar que la reconstrucción de la mejor descripción de estado posible que un observador puede generar debe seguir una ley dinámica que no es unitaria todo el tiempo, sino que también contiene saltos repentinos de estado con resultados aleatorios impulsados ​​por información entrante previamente desconocida del ambiente. Se puede demostrar que un fotón del entorno con polarización completamente desconocida puede causar un salto de estado subjetivo que corresponde exactamente a la regla de Born. Esta es, por supuesto, una afirmación audaz. pero por favor mirahttp://arxiv.org/abs/1205.0293 para una derivación adecuada y discusión de los detalles. Si desea ver una introducción más suave a la idea, también puede leer el blog (menos completo pero más intuitivo) que he creado para esto: http://aquantumoftheory.wordpress.com

La regla de Born es un postulado fundamental de la mecánica cuántica y por lo tanto no puede derivarse de otros postulados --precisamente tu primer enlace lo enfatiza--.

En particular, la regla Born no puede derivarse de la evolución unitaria porque la regla no es unitaria.

La regla de Born se puede obtener a partir de evoluciones no unitarias.

Es independiente, pero no es fundamental, ya que se aplica solo a tipos de medidas altamente idealizados. (Las mediciones realistas se rigen por POVM en su lugar).

De hecho, el papel de la regla de Born en la mecánica cuántica es marginal (después de la introducción estándar y la derivación de la noción de expectativa). Casi nunca se usa para el análisis de problemas reales, excepto para arrojar luz sobre problemas en los fundamentos de la mecánica cuántica.

Sí, se puede derivar de la unitaridad de la evolución cuántica. Esto fue demostrado por Lesovik en su artículo, Derivación de la regla Born de la unitaridad de la evolución cuántica .