¿Tiene sentido preguntar cómo actúa la derivada covariante sobre la derivada parcial ∇μ(∂σ)∇μ(∂σ)\nabla_\mu ( \partial_\sigma)? Si es así, ¿cuál es la respuesta?

Mi pregunta sería ¿por qué estás haciendo esto?

La idea de la derivada covariante es que asigna un tensor a un tensor con un índice más bajo, mientras satisface algunas otras reglas como la regla de Liebniz.

Pero, si tienes un objeto como$\partial_{a}\ell_{b}$, ya, en general, no es un tensor, y su mapeo tiene un problema de dominio.

Si está tratando de averiguar la expresión de alguna serie de derivadas covariantes en términos de parciales y símbolos de Christoffel, debe hacer algo como:

$$\nabla_{a}\nabla_{b}v^{c} = \partial_{a}\left(\nabla_{b}v^{c}\right) - \Gamma_{ab}{}^{d}\nabla_{d}v^{c} + \Gamma_{ad}{}^{c}\nabla_{b}v^{d}\\ $$

Y luego puedes expandir el$\nabla v$términos normalmente. Pero no significa nada calcular la derivada covariante de un parcial, excepto en un caso: cuando estás calculando la derivada de una función. En ese caso, tenemos, para todos$f$,$\nabla_{a}f = \partial_{a}f$por definición, así que no importa cuál uses.

OP pregunta en el título (v2):

¿Tiene sentido preguntar cómo actúa la derivada covariante sobre la derivada parcial?$\nabla_\mu ( \partial_\sigma)$?

I) Bueno, sí, en un sentido limitado, si se tiene cuidado con la notación. Recuerda que una derivada parcial$\partial_{\mu}$puede interpretarse como si tuviera un doble propósito en la geometría diferencial: tanto como una derivada real$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$actuando sobre funciones, o simplemente como un dispositivo de reserva, como base, que se transforma correctamente bajo el cambio de coordenadas locales$x^{\mu}$. Para aclarar esta distinción, introduzcamos la notación$b_{\mu}$para este último papel. Entonces podemos, por ejemplo, escribir un campo vectorial como

$$X~=~X^{\mu}(x)b_{\mu}.\tag{1}$$ Entonces podemos reproducir la diferenciación covariante $$X^{\nu}_{;\mu}~=~\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} X^{\lambda}\tag{2}$$ a través de un truco: Introducir el operador diferencial formal de primer orden $$\nabla_{\mu}~=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}b_{\nu} \frac{\partial}{\partial b_{\lambda}}.\tag{3}$$ Entonces $$\nabla_{\mu}X~\stackrel{(1)+(3)}{=}~\left(\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}b_{\nu} \frac{\partial}{\partial b_{\lambda}}\right)(X^{\kappa}b_{\kappa})~=~\left(\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} X^{\lambda}\right)b_{\nu}~\stackrel{(2)}{=}~X^{\nu}_{;\mu}b_{\nu}\tag{4}$$

II) Del mismo modo, el corchete de mentira

$$[X,Y]^{\nu} ~=~ X^{\mu}\frac{\partial Y^{\nu}}{\partial x^{\mu}} -Y^{\mu}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\tag{5}$$ de campos vectoriales $$X~=~X^{\mu}b_{\mu} , \qquad Y~=~Y^{\mu}b_{\mu}, \tag{6}$$ puede ser reproducido por el soporte Schouten-Nijenhuis $$[X,Y]~=~X\left(\stackrel{\leftarrow}{\frac{\partial}{\partial b_{\mu}}}\stackrel{\rightarrow}{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}} - \stackrel{\leftarrow}{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}\stackrel{\rightarrow}{\frac{\partial}{\partial b_{\mu}}} \right)Y. \tag{7}$$

III) Tal formalismo, que diferencia los elementos de base$b_{\mu}$, se puede desarrollar más en otras áreas de la geometría diferencial.

Si desea usar esto para conmutadores, entonces considere

$$\nabla_\sigma([k,l]^\mu)=\partial_\sigma[k,l]^\mu+\Gamma^\mu_{\sigma\kappa}[k,l]^\kappa=\partial_\sigma(k^\nu\partial_\nu l^\mu-l^\nu\partial_\nu k^\mu)+\Gamma^\mu_{\sigma\kappa}(k^\nu\partial_\nu l^\kappa-l^\nu\partial_\nu k^\kappa)...$$

y use esto para más cálculos, o considere que para cualquier conexión sin torsión, tenemos

$$[k,l]^\mu=k^\nu\partial_\nu l^\mu-l^\nu\partial_\nu k^\mu\equiv k^\nu\nabla_\nu l^\mu-l^\nu\nabla_\nu k^\mu,$$ y la última expresión contiene solo términos que son 'covariantes'.