Análisis dimensional del tensor métrico

El elemento de línea$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$tiene las dimensiones de longitud$^2$. Pero existen varias convenciones diferentes sobre cómo distribuir esas dimensiones entre los factores:

1. A algunas personas les gusta tener la métrica adimensional y tener la coordenada$dx^\mu$tener la dimensión de$L^1$. Este es mi favorito personal, porque entonces puedes averiguar la dimensión de los diversos tensores de curvatura simplemente contando de cuántos derivados del espacio-tiempo están compuestos (un factor de$L^{-1}$para cada derivada).

2. A algunas personas les gusta tener las coordenadas$dx^\mu$adimensional, en cuyo caso la métrica y todos los tensores de curvatura tienen las dimensiones de$L^2$.

3. A algunas personas les gusta tener diferentes coordenadas y diferentes componentes de la métrica tienen diferentes dimensiones, por ejemplo, para la métrica euclidiana.$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$,$[r] = L^1$,$[\theta] = L^0$,$[g_{rr}] = L^0$,$[g_{r\theta} = L^1]$, y$[g_{\theta \theta}] = [L^2]$. En este caso, los diferentes componentes de los distintos tensores de curvatura también tienen diferentes dimensiones.

Independientemente de la convención que utilice, las dimensiones siempre funcionan correctamente al final del día, cuando todos los índices se han reducido a escalares de Lorentz observables físicamente.

Siempre hay un poco de confusión con respecto a las coordenadas y sus dimensiones. Una coordenada es, desde un punto de vista físico, una cantidad asociada a cada evento en una región del espacio-tiempo (el dominio de la carta), de tal manera que los valores de un conjunto de tales cantidades identifican de manera única los eventos en esa región. . Cualquier cantidad servirá: la distancia desde algo, el tiempo transcurrido desde algo, un ángulo, pero también una temperatura o el valor de un campo. Entonces podríamos tener un sistema de coordenadas local donde las coordenadas tienen dimensiones de longitud, ángulo (es decir, "1"), flujo magnético y temperatura.

Como señala tparker , esto implica que diferentes componentes del tensor métrico tendrán diferentes dimensiones. Pero todo tensor tiene una dimensión absoluta , como lo llama Schouten (1989). Es la dimensión del tensor como objeto geométrico, independientemente de cualquier sistema de coordenadas. es la dimensión de la suma

$$g_{00}\;\mathrm{d}x^0 \otimes \mathrm{d}x^0 + g_{01}\;\mathrm{d}x^0 \otimes \mathrm{d}x^1 + \dotsb \equiv \pmb{g}.$$

Hay diferentes opciones para la dimensión absoluta del tensor métrico:$\text{length}^2$,$\text{time}^2$, etcétera. Mi favorito es$\text{time}^2$, porque si transportamos un reloj de un evento$E_1$a un evento$E_2$(separados en el tiempo) a lo largo de un camino en el tiempo$s \mapsto c(s)$, el reloj mostrará un tiempo transcurrido (tiempo propio)

$$\int_{c} \sqrt{\Bigl\lvert \pmb{g}[\dot{c}(s),\dot{c}(s)] \Bigr\rvert}\; \mathrm{d}s,$$ que es independiente de la parametrización$s$. Asumiendo$c$ser adimensional significa que$\pmb{g}$debe tener dimensiones$\text{time}^2$. Pero algunos autores, por ejemplo, Curtis & al (1985), definen el tiempo transcurrido como$\frac{1}{c}$veces la integral anterior, de modo que$\pmb{g}$tiene dimensión absoluta$\text{length}^2$en cambio. De todos modos, el punto es que$\pmb{g}$, como objeto geométrico intrínseco, tiene una dimensión que es independiente de cualquier coordenada.

Tenga en cuenta que$\pmb{g}$La dimensión absoluta de provoca diferencias en las dimensiones absolutas de los tensores obtenidos entre sí al subir o bajar los índices.

Con respecto a una conexión, independientemente de cualquier métrica, considere la acción de su derivada covariante$\nabla$en los vectores de coordenadas:

$$\nabla \frac{\partial}{\partial x^\lambda} = \sum_{\mu\nu} \varGamma{}^{\nu}{}_{\mu\lambda}\; \frac{\partial}{\partial x^\nu}\otimes\mathrm{d}x^{\mu}.$$ Para asegurarse de que los términos en la suma y el lado izquierdo tengan la misma dimensión, el símbolo de Christoffel$\varGamma{}^{\nu}{}_{\mu\lambda}$debe tener dimensiones$\mathrm{K}\,\dim(x^{\nu})\,\dim(x^{\mu})^{-1}\,\dim(x^{\lambda})^{-1}$, dónde$\mathrm{K}$es arbitrario El efecto de la derivada covariante es, por lo tanto, multiplicar la dimensión de su argumento por$\mathrm{K}$. Parece muy natural tomar$\mathrm{K}=1$, de lo contrario tendríamos problemas con la definición del tensor de Riemann: $$R(\pmb{u},\pmb{v})\pmb{w} = \nabla_{\pmb{u}}\nabla_{\pmb{v}}\pmb{w} -\nabla_{\pmb{v}}\nabla_{\pmb{u}}\pmb{w} -\nabla_{[\pmb{u},\pmb{v}]}\pmb{w},$$ dónde$\nabla$aparece dos veces en dos sumandos y una vez en un sumando.

De aquí se sigue que el tensor de Riemann$R{}^\bullet{}_{\bullet\bullet\bullet}$y el tensor de Ricci$R_{\bullet\bullet}$son adimensionales.

Vea esta respuesta para una discusión más larga.

Referencias

• Curtis, Miller (1985): Colectores diferenciales y física teórica (Academic Press); cap. 11, ecuación (11.21).
• Schouten (1989): Tensor Analysis for Physicists (Dover, 2ª ed.); cap. VI.