¿Cómo podemos derivar el campo de calibre Lagrangiano?

El lagrangiano debe ser un objeto invariante de calibre e invariante de Lorentz que se pueda integrar en todo el espacio-tiempo.$\Sigma$.

Entonces, primero debemos obtener un$n$-forma (para$n$la dimensión del espacio-tiempo), y todo lo que tenemos para eso es el campo de calibre$A$, que a su vez se transforma de una manera fea bajo la transformación de calibre. El único objeto que podemos construir a partir de él es su propia derivada covariante$\mathrm{d}_A A$, dónde$\mathrm{d}_A \omega = \mathrm{d} \omega + A \wedge \omega$para formas arbitrarias. (En coordenadas, esto es de hecho$D_\mu = \partial_\mu - \mathrm{i}g A_\mu$en 1-formas si restauramos los factores de$g$y$\mathrm{i}$los físicos parecen amar tanto). Uno puede comprobar que

para que ambos$\mathrm{d}_A A$y$[D_\mu,D_\nu]$son definiciones equivalentes de la intensidad de campo$F_{\mu\nu}$. Por cálculo directo, se muestra que la intensidad de campo se transforma en la representación adjunta del grupo de calibre, es decir, para una transformación de calibre$t : \Sigma \to G$se transforma como

Ahora,$F$es un$2$-forma (ya que es la derivada de la$1$-forma$A$). ¿Cómo podemos, en un entorno arbitrario, hacer una$n$-forma fuera de ella? Respuesta: siempre que haya una métrica en el espacio-tiempo, tomamos el doble de Hodge $\star F$, el cual es un$n - 2$-forma, de ella y acuñarlos juntos como$F \wedge \star F$. como un$n$-forma, es una forma pseudoescalar y por lo tanto (propiamente) invariante de Lorentz. Además, todavía se transforma en el adjunto por la linealidad de la cuña y la estrella de Hodge:

y por la ciclicidad de la traza ($\mathrm{Tr}(A_1\dots A_n) = \mathrm{Tr}(A_n A_1 \dots A_{n-1})$), su rastro no se transforma en absoluto. Por lo tanto,$\mathrm{Tr}(F \wedge \star F)$es un invariante de Lorentz y de gauge$n$-forma, y ​​por lo tanto un sumando viable en el Lagrangiano. En el escenario general, no hay otro tal$n$-forma construida solo a partir del campo de calibre, por lo que el Lagrangiano de Yang-Mills es la única acción que podemos escribir solo para el campo de calibre en una dimensión arbitraria.

Tenga en cuenta que, en la configuración 4D habitual, destaca la segunda clase de Chern$\mathrm{Tr}(F\wedge F)$como un segundo término invariante, pero cuya integral es un invariante topológico y describe el número de instantón .