Ecuaciones de Maxwell Homogéneas en el Lenguaje de Formas Diferenciales

1. Entiendo que si defino campo eléctrico como$E=E_i dx^i$, campo magnético a ser$B=B_1 dx^2 \wedge dx^3 + B_2 dx^3 \wedge dx^1 + B_3 dx^1 \wedge dx^2$, y la intensidad de campo para ser$F= dx^0 \wedge E + B$, obtendría las dos ecuaciones de Maxwell homogéneas de$dF=0$. La última ecuación es una ecuación no trivial.

2. Sin embargo, he leído en otro lugar que si defino el vector potencial para que sea la única forma$A=A_\mu dx^{\mu}$, y la intensidad de campo a ser$F=dA$Obtendría las dos ecuaciones de Maxwell homogéneas.

Mis preguntas:

1. Primero, con esta segunda definición la ecuación$dF=0$es trivialmente cierto ya que$d^2=0$y no entiendo cómo esto me daría algo no trivial.

2. En segundo lugar, de la segunda definición si escribo$F$en componentes tendría [*]:

   $$F=dA=\partial_{\beta}A_{\mu} dx^{\beta} \wedge dx^{\mu}\\ = \partial_0 A_i dx^0 \wedge dx^i + \partial_i A_0 dx^i \wedge dx^0 + \partial_j A_i dx^j \wedge dx^i\\ = \partial_0 A_i dx^0 \wedge dx^i + x^0 \wedge E + B$$ que tiene el primer término extra en comparación con la primera definición, y no tengo ninguna razón para que este término sea cero. Entonces, ¿qué me estoy perdiendo aquí? ¿Cuál de los dos enfoques anteriores es correcto?

[*] Uso superíndices de letras griegas para 4 componentes de espacio-tiempo y letras pequeñas en inglés para 3 componentes de espacio.