¿Puedo usar la propagación de tiempo imaginario para problemas de muchos cuerpos?

Hay varias formas de encontrar numéricamente la energía del estado fundamental y la función de onda de un hamiltoniano de muchos cuerpos. Puede diagonalizar el hamiltoniano y seleccionar el estado propio más bajo, o usar Lancoz.

Mi propuesta es que ¿puedo usar la propagación de tiempo imaginario para problemas de muchos cuerpos?

Hazlo simple, multiplico una función de onda de prueba

| ψ 0 ⟩ = ∑ i ∈ propio w i 0 | i ⟩
por un operador Exp ⁡ ( − H ^ τ ) . Entonces nosotros tenemos
| ψ τ ⟩ = ∑ i ∈ propio w i τ | i ⟩
con w i τ = w i 0 Exp ⁡ ( − mi i τ ) .

Para un tamaño suficientemente grande τ , tenemos Exp ⁡ ( − H ^ τ ) ≈ w gramo τ PAG ^ gramo . ¡La función de prueba se proyectará al estado fundamental!

Al elegir un conjunto completo de estados básicos, podemos calcular numéricamente el operador tomando la expansión de Taylor de la exponencial e iterando a la norte -ésimo orden, finalmente obtenemos una matriz. Ahora multiplique la matriz en una función de prueba escrita en términos de la base que elegimos, luego normalícela y obtendremos la función de onda del estado fundamental.

¿Será preciso, estable y rápido ?

Respuestas (2)

Esta es la base de un conjunto bastante común de técnicas para encontrar las propiedades del estado fundamental. La parte difícil es escribir la matriz y multiplicarla contra las funciones de onda de prueba en una gran base de muchos cuerpos. La intuición de proyección en sí no es suficiente, pero resulta que podemos usar:

Projector Quantum Monte Carlo (hay mucha literatura sobre esto, pero vea por ejemplo http://arxiv.org/abs/0807.0682 sección IV) para muestrear eficientemente el efecto de golpear un estado de prueba con altas potencias de la matriz hamiltoniana.

Decimación de bloques evolucionada en el tiempo en tiempo imaginario. Esta técnica está estrechamente relacionada con DMRG y, nuevamente, solo es cuestión de tener un buen estado de prueba (un estado de producto de matriz) y una forma eficiente de aplicar el operador de evolución térmica (técnico, pero todos los detalles están en http:// arxiv .org/abs/quant-ph/0301063 )

Todavía concentrémonos en métodos simples con un número mínimo de subrutinas. Algunas personas están usando el operador ( H ^ − mi ) norte para encontrar el estado fundamental. Acabo de modificarlo para que el procedimiento sea simple y claro. Me di cuenta de que no necesito escribir la matriz en absoluto, bastará con registrar el vector resultante.
Supongo que no estoy seguro de lo que quiere decir: si está interesado en un vector en el espacio completo de Hilbert de muchos cuerpos, incluso sin la matriz explícita, todavía está proponiendo el Método de potencia, del cual Lanczos es una mejora. (¡y uno que ya no cuesta!) pero todavía está restringido a sistemas muy pequeños.

Cualquier función de onda dependiente del tiempo arbitraria ya es una suma de términos en descomposición si usa un tiempo imaginario. El verdadero problema es encontrar analíticamente tal función de onda. Se puede hacer por la teoría de la perturbación.

Hace muchos años (1985) usamos esta idea para la función de Green para estimar la energía del estado fundamental en quarkonuim (potencial de confinamiento). Cuantos más términos perturbadores use, mejor será la precisión, pero fue difícil avanzar más allá del tercer orden (analíticamente). Y tuvimos que usar aproximaciones no lineales para la serie obtenida con el fin de aproximar mejor la exponencial decreciente en tiempos grandes.

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