Principio de acción mínima en tiempo imaginario

Question

Principio de acción mínima en tiempo imaginario

Física
integral de trayectoria
semiclásico
rotación de mecha
mecánica cuántica
mecánica estadística

Alexey Sokolik

En mecánica cuántica, la amplitud de propagación de la función de onda se puede encontrar utilizando la integral de trayectoria de Feynman.

⟨ z^{'} | {mi}^{- i t H / ℏ} | z ⟩ = \int_{X (0) = z X (t) = z^{'}} D X (t^{'}) Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} [\frac{metro {\dot{X}}^{2} (t^{'})}{2} - V (X (t^{'}))]} .

$\langle z'|e^{-itH/\hbar}|z\rangle=\int\limits_{x(0)=z\\x(t)=z'} Dx(t')\: \exp\left\{\frac{i}\hbar\int_0^t dt'\:\left[\frac{m\dot{x}^2(t')}2-V(x(t'))\right]\right\}.$

En el límite (cuasi)clásico $\hbar\rightarrow0$ , la principal contribución a la integral proviene de la trayectoria clásica

\frac{d}{d t^{'}} [\frac{metro {\dot{X}}^{2} (t^{'})}{2}] - \frac{d}{d X} [V (X (t^{'}))] = 0,

$\frac{d}{dt'}\left[\frac{m\dot{x}^2(t')}2\right]-\frac{d}{dx}\left[V(x(t'))\right]=0,$ donde la acción es mínima y las fluctuaciones alrededor de esta trayectoria proporcionan correcciones cuánticas al resultado.

En física estadística cuántica, la integral de trayectoria se puede utilizar para calcular elementos de matriz de una matriz de densidad térmica cambiando al tiempo imaginario $\tau=it/\hbar$ :

⟨ z^{'} | {mi}^{- β H} | z ⟩ = \int_{X (0) = z X (β) = z^{'}} D X (τ) Exp {- \int_{0}^{β} d τ [\frac{metro {\dot{X}}^{2} (τ)}{2} + V (X (τ))]} .

$\langle z'|e^{-\beta H}|z\rangle=\int\limits_{x(0)=z\\x(\beta)=z'} Dx(\tau)\: \exp\left\{-\int_0^\beta d\tau\:\left[\frac{m\dot{x}^2(\tau)}2+V(x(\tau))\right]\right\}.$

¿Cuál es el significado físico de una trayectoria de acción mínima en el tiempo imaginario? ¿Qué significan las fluctuaciones alrededor de esta trayectoria y cómo afectan cualitativamente a los elementos de matriz resultantes?

Respuestas (2)

Principio de acción mínima en tiempo imaginario

qmecanico · Answer 1

Aquí comentaremos un aspecto de la pregunta de OP, que se puede redactar de la siguiente manera:

¿Cuál es la conexión entre las aproximaciones WKB para la integral de trayectoria en Minkowski frente al tiempo euclidiano?

Esa es una gran pregunta. Consideremos el límite semiclásico $\hbar\to 0^{+}$ .

Por un lado, en tiempo de Minkowski, la integral de trayectoria
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Z_{METRO} & := \int D \frac{ϕ}{\sqrt{ℏ}} Exp {\frac{i}{ℏ} S_{METRO} [ϕ]} \\ \sim \sum_{ϕ_{C yo}} \frac{1}{\sqrt{det (\dots)}} Exp {\frac{i}{ℏ} S_{METRO} [ϕ_{C yo}]} para ℏ \to 0^{+} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_M&:=~\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_M[\phi]\right\} \cr &\sim~\sum_{\phi_{\rm cl}}\frac{1}{\sqrt{\det(\ldots)}}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S_M[\phi_{\rm cl}]\right\} \quad\text{for}\quad\hbar~\to~0^+ \end{align}\tag{1}$ está dominado por configuraciones estacionarias $\phi_{\rm cl}$ , es decir, instantes, cf. la aproximación de la fase estacionaria . Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada. El determinante de raíz cuadrada en el denominador indica una integral gaussiana de fluctuaciones cuánticas alrededor de cada instante.
Por otra parte, en tiempo euclidiano, la integral de trayectoria
$\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} Z_{mi} & := \int D \frac{ϕ}{\sqrt{ℏ}} Exp {- \frac{1}{ℏ} S_{mi} [ϕ]} \\ \sim \sum_{ϕ_{min}} \frac{1}{\sqrt{det (\dots)}} Exp {- \frac{1}{ℏ} S_{mi} [ϕ_{min}]} para ℏ \to 0^{+} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_E&:=~\int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{- \frac{1}{\hbar} S_E[\phi]\right\} \cr &\sim~\sum_{\phi_{\min}}\frac{1}{\sqrt{\det(\ldots)}}\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}S_E[\phi_{\min}]\right\} \quad\text{for}\quad\hbar~\to~0^+ \end{align}\tag{2}$ aparentemente está dominado por los mínimos globales $\phi_{\min}$ para la acción euclidiana, cf. el método de descenso más empinado . Todo lo demás se suprime exponencialmente.

Los dos métodos 1 y 2 parecen bastante diferentes: los puntos estacionarios no son lo mismo que los puntos mínimos globales.

Sin embargo, de acuerdo con la ciencia de la física, dadas las propiedades analíticas pertinentes del integrando, se pueden conectar a través de la rotación de Wick . Famoso, esto es más fácil decirlo que hacerlo, vea, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

¡Gracias por la respuesta! Sin embargo, no responde directamente a mi pregunta: ¿cuál es el significado físico de las trayectorias donde la acción euclidiana es mínima? Parece que, actuando de manera similar a la derivación de las ecuaciones de Lagrange (solo el signo de $V(x)$ cambios), podemos obtener la ecuación para esta trayectoria como $m\ddot{x}=V'(x)$ , que se ve raro.
El lagrangiano euclidiano parece un lagrangiano estándar (es decir, término cinético menos término potencial), con un potencial aparente igual a menos $V$ , véase, por ejemplo, este y este Phys.SE publicaciones.

ji zou · Answer 2

Creo que primero deberías tener una mejor comprensión del formalismo del tiempo imaginario. A continuación se muestra mi comprensión de este problema.

Cuando tratamos con el problema de la teoría del campo de temperatura finito, generalmente vamos al dominio del tiempo imaginario y usamos más las frecuencias de Matsubara. ¿Cómo entenderlo físicamente? En términos generales, podemos decir que convertimos la fluctuación térmica en fluctuación cuántica. Primero, necesitamos entender qué es la fluctuación térmica. Sin fluctuación térmica, la configuración es única. Debido a la temperatura, el sistema puede tener otra configuración con probabilidad:

pag \propto {mi}^{- β mi}

$p\propto e^{-\beta E}$ Esto es lo que entendemos por fluctuación térmica. Tenga en cuenta que no depende del tiempo porque nos preocupamos por las propiedades de equilibrio. Pero para la fluctuación cuántica, tenemos dinámica y dice que

φ (x, t)

$\varphi(x,t)$ tiene probabilidad:

φ (X, t) \propto {mi}^{i S (φ (X, t)) / ℏ}

$\varphi(x,t)\propto e^{iS(\varphi(x,t))/\hbar}$ Entonces, en términos generales, cuando vamos al tiempo imaginario, convertimos la fluctuación térmica (

T

$T$ ) en fluctuación cuántica (

dynamics: τ

$\text{ dynamics: } \tau$ ):

Tr {mi}^{- β H} = \int D (\bar{ψ}, ψ) {mi}^{- \frac{1}{ℏ} \int^{β ℏ} d τ L (τ)}

$\text{Tr} e^{-\beta H }=\int \mathcal{D}(\bar{\psi},\psi) e^{-\frac{1}{\hbar} \int^{\beta \hbar} d\tau L(\tau)}$

¡Gracias! Sin embargo, estoy interesado aquí en cosas más específicas: 1) qué trayectoria proporciona una contribución importante a $\langle z'|e^{-\beta H}|z\rangle$ en el clásico ( $\hbar\rightarrow0$ ) y temperatura cero ( $\beta\rightarrow\infty$ ) límites? 2) ¿Cuál es el significado físico de las fluctuaciones alrededor de esta trayectoria? 3) ¿Fluctuaciones cuánticas por encima de qué estado? ¿Cómo se enredan/desenredan en la integral de trayectoria de tiempo imaginario?

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