Raíz de iii, ¿cuál tomar?

Ese propagador no es más que la continuación analítica de la función de Green de la ecuación del calor desde valores reales positivos a valores imaginarios de$t_b-t_a$. Por lo tanto, el corte en el plano complejo para hacer que la raíz cuadrada tenga un solo valor debe colocarse a lo largo del eje real negativo, o sin embargo, en el semiplano.$x<0$. Con este corte queda bien definida la raíz cuadrada.

Todo eso significa que$\sqrt{i} = e^{i\pi/4}$es la opción matemáticamente correcta en esa fórmula, la que produce un delta de Dirac para$t_a=t_b$.

Definir$\Delta t := t_b-t_a$y$\Delta x := x_b-x_a$.

Uno debe asegurarse de que

$$\tag{1}{\rm Re}(i\Delta t)~>~0$$

es positivo para el factor exponencial

$$\tag{2}\exp \left [- \frac{ m}{2 \hbar}\frac{(\Delta x)^2}{ i\Delta t} \right]$$

ser amortiguado exponencialmente.

De manera equivalente, uno debe realizar el Feynman$i\epsilon$prescripción, es decir, sustituto$\Delta t\to\Delta t-i\epsilon$en el propagador. Este requisito (1) es para asegurar que

$$\tag{3} \langle x_b ,t_b | x_a ,t_a \rangle ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0$$

cuando se toma la rama de la raíz cuadrada que tiene parte real positiva.

Dado que el propagador está definido por la relación

$$\psi(x,t) = \int K(x',x,t,t') \psi(x',t') dx'\, dt'$$ Una sola ambigüedad daría como resultado un cambio de fase de la función de onda, lo que no altera las predicciones de la mecánica cuántica. Así que no importa qué raíz cuadrada tomes, como una cuestión de ideas fijas, siempre saco la raíz.

$$\sqrt(z) = \|z\|^{1/2} \, e^{i \arg(z) / 2}$$