Probabilidades en mecánica cuántica: ¿resultados de medición o más?

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Probabilidades en mecánica cuántica: ¿resultados de medición o más?

Física
regla de nacimiento
probabilidad
mecánica cuántica
mediciones cuánticas

Sahand Tabatabaei

En todos los tratamientos de la mecánica cuántica, la naturaleza probabilística de la teoría entra a través de la regla de Born para las propiedades estadísticas de los resultados de medición de algún observable. En resumen, esto dice que para un observable $\Omega \in \mathcal{L(H)}$ en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ , la probabilidad de medir el valor propio $\omega$ en un estado normalizado $|\psi \rangle \in \mathcal H$ es dado por:

PAG r (Ω = ω) \equiv ‖ {PAG}_{ω} | ψ ⟩ ‖^{2}

$\mathrm{Pr}(\Omega = \omega) \equiv \Vert P_\omega \vert \psi \rangle \Vert^2$

con $P_\omega$ siendo el proyector en el espacio propio de $\Omega$ asociado con el valor propio $\omega$ .

Ahora bien, que yo sepa, en lo que respecta a los estados puros, esta es la única forma en que las probabilidades entran en la mecánica cuántica; hablar de probabilidades sin que exista una medida sobre un observable no tiene mucho sentido. Sin embargo, hay un problema, en muchos casos, he visto a personas usar la noción de cantidad.

| ⟨ ϕ | ψ (t) ⟩ |^{2}

$\vert \langle \phi \vert \psi(t) \rangle \vert^2$

como algún tipo de probabilidad también, sin que haya ninguna mención de una medida/observable. Por ejemplo, para una vuelta $1/2$ partícula, si $|\psi(0) \rangle = \vert \left\downarrow \right \rangle$ y $|\phi \rangle = \vert \left\uparrow \right \rangle$ , he visto la cantidad

pag (t) = | ⟨ ↑ | ψ (t) ⟩ |^{2}

$p(t) = \vert \langle \uparrow \vert \psi(t) \rangle \vert^2$

siendo llamado la "probabilidad de cambio de giro". Ahora entiendo que $p(t)$ satisface todos los axiomas necesarios para que sea una probabilidad válida, y también entiendo intuitivamente que esta cantidad mide la cercanía de los estados $\vert \psi(t) \rangle$ y $\vert \left\uparrow \right \rangle$ , siendo ellos exactamente iguales (hasta una fase) cuando $p(t) = 1$ . Pero aún así, sigo tratando de encontrar una manera de conectar esta declaración probabilística con la regla de Born, sin ningún éxito.

Como otro ejemplo de esta discrepancia, considere la formulación estándar de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, en la que la probabilidad de transición del estado propio de energía $\vert n \rangle$ a $\vert m \rangle$ Se define como:

{pag}_{norte \to metro} (t) \equiv | ⟨ metro | tu (t) | norte ⟩ |^{2}

$p_{n\rightarrow m}(t) \equiv \vert \langle m \vert U(t) \vert n \rangle \vert ^2$ dónde

U

$U$ es el propagador. Esto se puede usar para calcular una tasa de transición, etc.

Nuevamente, no veo ninguna mención de que se esté realizando una medición. La única forma en que puedo darle sentido es pensar en ello como una forma abreviada de decir:

" Si el sistema se inició en el estado $\vert n \rangle$ y evolucionado por el tiempo $t$ , ¿cuál sería la probabilidad de medir la energía del sistema y obtener $E_m$ como resultado ".

Pero esta interpretación tampoco está exenta de problemas, ya que se desmorona si el $m^\mathrm{th}$ El estado propio es degenerado . Entonces no se me ocurre ninguna forma de conectar esto con la regla de Born.

¿Me estoy perdiendo algo fundamental que conecta estas interpretaciones probabilísticas de manera satisfactoria, o debería simplemente interpretar estas segundas "probabilidades" como una medida más de la "cercanía" de los dos estados? $\vert \phi \rangle$ y $\vert \psi(t) \rangle$ ?

knzhou

Sí, la probabilidad siempre representa la probabilidad de ver algún resultado cuando realiza una medición, por ejemplo, en su primer caso, la probabilidad de cambio de giro es la probabilidad de medir

| ↑ ⟩

$|\uparrow \rangle$ si haces una medición de giro.

Sahand Tabatabaei

@knzhou He mencionado eso en mi segundo ejemplo como una interpretación. Pero, ¿qué pasa con las "probabilidades de transición" de un estado propio de energía a otro en el contexto de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo? Si cualquiera de los estados propios en cuestión está asociado con un valor propio degenerado, ya no puede hacer esa asociación con la regla Born. Ver mi segundo ejemplo.

knzhou

Claro que puedes, solo tienes que medir algo que no sea energía.

Sahand Tabatabaei

Eso es cierto. Siempre puede definir algún operador hermitiano para el cual las probabilidades de los resultados de la medición correspondan a la

| ⟨ n | U | m ⟩ |^{2}

$\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ probabilidades de transición. Pero no siento que esto realmente aborde mi problema. Lo único que te dice es que esa cantidad es la probabilidad de medir un valor específico para algún observable (quizás) artificial y abstracto que hayas definido en tu espacio de Hilbert. ¿ Por qué lo llamarías entonces la probabilidad de transición ? ¿No debería haber una conexión con la intuición física de una "transición".

C.Jordania

Cuando hablo de medición de probabilidad, me hace pensar en buscadores de dimensiones superiores quinto o décimo donde la probabilidad es relativa al espacio y al tiempo pero es difícil de comprender.

Respuestas (1)

Probabilidades en mecánica cuántica: ¿resultados de medición o más?

Sí, la probabilidad siempre representa la probabilidad de ver algún resultado cuando realiza una medición, por ejemplo, en su primer caso, la probabilidad de cambio de giro es la probabilidad de medir $|\uparrow \rangle$ si haces una medición de giro.
@knzhou He mencionado eso en mi segundo ejemplo como una interpretación. Pero, ¿qué pasa con las "probabilidades de transición" de un estado propio de energía a otro en el contexto de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo? Si cualquiera de los estados propios en cuestión está asociado con un valor propio degenerado, ya no puede hacer esa asociación con la regla Born. Ver mi segundo ejemplo.
Claro que puedes, solo tienes que medir algo que no sea energía.
Eso es cierto. Siempre puede definir algún operador hermitiano para el cual las probabilidades de los resultados de la medición correspondan a la $\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ probabilidades de transición. Pero no siento que esto realmente aborde mi problema. Lo único que te dice es que esa cantidad es la probabilidad de medir un valor específico para algún observable (quizás) artificial y abstracto que hayas definido en tu espacio de Hilbert. ¿ Por qué lo llamarías entonces la probabilidad de transición ? ¿No debería haber una conexión con la intuición física de una "transición".
Cuando hablo de medición de probabilidad, me hace pensar en buscadores de dimensiones superiores quinto o décimo donde la probabilidad es relativa al espacio y al tiempo pero es difícil de comprender.

nefente · Answer 1

$\newcommand{\ket}[1]{\vert\,#1\,\rangle}$ $\newcommand{\bra}[1]{\langle\,#1\,\vert}$ $\newcommand{\braket}[2]{\langle\,#1\,\vert\,#2\,\rangle}$

Lo que debes darte cuenta es que, por ejemplo, $P_\uparrow \equiv \vert\!\uparrow\,\rangle\langle\,\uparrow\!\vert$ es el proyector en el espacio propio spin-up. De este modo

PAG r (S_{z} = \frac{1}{2}) = ‖ {PAG}_{↑} | Ψ ⟩ ‖^{2} = \underset{= 1}{\underset{⏟}{⟨ ↑ | ↑ ⟩}} | ⟨ ↑ | Ψ ⟩ |^{2}

$\mathrm{Pr}\left(S_z=\frac{1}{2}\right) = \Vert P_\uparrow \vert\,\Psi\,\rangle \Vert^2 = \underbrace{\langle\,\uparrow\!\vert\!\uparrow\,\rangle}_{=1}\vert\langle\,\uparrow\!\vert\Psi\,\rangle\vert^2$

y ambas expresiones representan la misma cantidad.

Si el subespacio está degenerado, puede escribir el proyector en ese subespacio en forma ortonormal (!) Como

{PAG}_{ω} = \sum_{k} | ω, k ⟩ ⟨ ω, k |

$P_\omega = \sum_k \ket{\omega,k}\bra{\omega,k}$ donde la suma corre sobre una base que abarca el

ω

$\omega$ -subespacio. Entonces la regla Born produce

PAG r (Ω = ω) = ‖ {PAG}_{ω} | Ψ ⟩ ‖^{2} = \sum_{k} | ⟨ ω, k | Ψ ⟩ |^{2}

$\mathrm{Pr}(\Omega=\omega) = \Vert P_\omega \ket{\Psi}\Vert^2 = \sum_k \vert \braket{\omega,k}{\Psi}\vert^2$ es decir, la probabilidad total de medir

ω

$\omega$ se encuentra sumando la degeneración (en términos de la teoría de la probabilidad: usted margina).

Tal vez, como ejemplo, considere el átomo de hidrógeno con base de energía y momento angular $\ket{n,l,m}$ . Cada estado propio de energía $H\ket{n,l,m}=E_n\ket{n,l,m}$ es $n^2$ pliegue degenerado. Si el sistema comienza, por ejemplo, en el estado $\ket{000}$ , la probabilidad de encontrarlo en un momento posterior $t$ en un estado con número cuántico principal $n$ es

\sum_{yo = 0, . . ., norte - 1} \sum_{metro = - yo, . . ., yo} | ⟨ norte, yo, metro | tu (t) | 000 ⟩ |^{2}

$\sum_{l=0,...,n-1}\sum_{m=-l,...,l} \vert \braket{n,l,m}{U(t)\vert 000}\vert^2$ El momento angular que pueda tener el sistema es irrelevante para la medición de la energía en cuestión.

Si hiciera la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el electrón en el orbital p de la segunda capa, sería

\sum_{metro = - 1, 0, 1} | ⟨ 2, 1, metro | tu (t) | 000 ⟩ |^{2}

$\sum_{m=-1,0,1} \vert \braket{2,1,m}{U(t)\vert 000}\vert^2$ ya que en ese caso el observable en cuestión es

H \otimes L^{2}

$H\otimes L^2$ .

que pasa

{pag}_{norte \to metro} (t) \equiv | ⟨ metro | tu (t) | norte ⟩ |^{2} ?

$p_{n\rightarrow m}(t) \equiv \vert \langle m \vert U(t) \vert n \rangle \vert ^2\;\;?$ Esta es la probabilidad de encontrar el sistema en el estado

| m ⟩

$\ket{m}$ . Si el valor propio de energía correspondiente no es degenerado, entonces esto es, como bien entiende, la probabilidad de encontrar el sistema en energía

E_{m}

$E_m$ al hacer una medición después de tiempo

t

$t$ . Pero si está degenerado, ¿cómo podría saber en cuál de los estados degenerados se encuentra el sistema midiendo solo la energía? No puedes. Necesita (al menos) otro observable que pueda medir simultáneamente para distinguir los estados degenerados. En conclusión, tienes razón. La expresión anterior no es la probabilidad de medición de la energía.

E_{m}

$E_m$ . Para obtener esto, uno necesita sumar sobre el subespacio.

Sin embargo, no está en contradicción con la regla de Born. Cualquier resultado de una medición (proyectiva) corresponde a un proyector ortogonal $P$ . Ya sea que ese proyector sea de rango uno y se proyecte en un solo estado, o si se está proyectando en un subespacio degenerado. Entonces, preguntar "si el sistema está en estado $\ket{n}$ es una medida perfectamente válida. Uno que quizás no puedas llevar a cabo en la práctica, pero está bien. Y también lo es preguntar "si el sistema tiene energía E_n". La regla de Born se aplica a todas esas situaciones por igual y la probabilidad siempre se da como $\Vert P\ket{\Psi}\Vert^2$

Sí, lo he mencionado en el contexto de mi segundo ejemplo de la discrepancia. Tan pronto como esté discutiendo un observable con un espectro degenerado, su punto se desmorona. Vea el segundo ejemplo en mi pregunta para ver a qué me refiero.
@SahandTabatabaei He ampliado mi respuesta. Aunque no estoy convencido, entiendo completamente la raíz de su problema, que parece ser de naturaleza semántica en lugar de física.
¡Exactamente! Entonces la cantidad $\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ (sin suma sobre el espacio propio degenerado) solo es proporcional a la regla Born si los estados no son degenerados como usted dice. Entiendo completamente todo, siempre y cuando el espectro no sea degenerado. Justo ese es mi problema. He visto que esta cantidad se llama "probabilidad de transición del estado $m$ a estado $n$ " sin mencionar ninguna suposición sobre la degeneración. Consulte, por ejemplo, el capítulo sobre la teoría de la perturbación dependiente del tiempo en Sakurai y Griffiths (y toneladas de otros libros).
@SahandTabatabaei Tienes toda la razón. He revisado la sección.
Asociar medidas con el espectro de observables es QM de la vieja escuela. Es mejor asociar resultados de mediciones con proyecciones ortogonales que pueden ser de rango 1 o superior (casos degenerados).
@Nephente Ya veo. Entonces, ¿quiere decir que en el caso degenerado, no deberíamos tomar la afirmación de que $\vert \langle n \vert U \vert m \rangle \vert^2$ es una "probabilidad de transición de $\vert m \rangle$ a $\vert n \rangle$ " ¿en serio?
@SahandTabatabaei No, no, es exactamente eso, la probabilidad de transición entre los dos estados . Pero eso no es lo mismo que la probabilidad de medir la energía $E_n$ si hay más de un estado con esa energía.
@Nephente Pero, ¿por qué es una probabilidad si el único lugar donde las probabilidades ingresan a los postulados de QM es en la regla de Born para los resultados de medición, y esto es, como dice en su respuesta, una cantidad diferente a las probabilidades dadas por la regla de Born? ?
@SahandTabatabaei Preguntar en qué estado se encuentra el sistema es una medida válida. Cualquier proyector de rango uno es un observable perfectamente fino.

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¿La regla de Born generalmente se considera un axioma en la mecánica cuántica?

¿Existe una base matemática para la regla de Born?

¿Es la regla de Born un postulado fundamental de la mecánica cuántica?

¿Hay algún operador detrás de la probabilidad, en mecánica cuántica?

¿Normalización del significado de la función de onda...?

¿Por qué |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 es la densidad de probabilidad?

¿Tiene |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2 algún significado?

Sobre la regla de Born

¿Qué sucede en un paso de potencial infinitamente largo cuando E

¿Por qué las soluciones no normalizables no pueden representar partículas?