¿La regla de Born generalmente se considera un axioma en la mecánica cuántica?

La afirmación correcta es que la probabilidad de que una medida de un observable representada por un operador hermitiano$A$(con espectro no degenerado) sobre un estado$\vert\psi\rangle$daría un valor propio$\lambda_i$es dado por

$$\begin{align}p_i=\frac{\langle\psi\vert\psi_i\rangle\langle\psi_i\vert\psi\rangle}{\langle\psi\vert\psi\rangle}\end{align}$$ dónde$\vert\psi_i\rangle$es el estado propio normalizado del operador$A$correspondiente al valor propio$\lambda_i$. Sin embargo, esto no requiere que$\vert\psi\rangle=\sum_i\vert\psi_i\rangle$. El vector de estado$\vert\psi\rangle$puede ser el estado normalizable más genérico y, por lo tanto, se representaría, en general, como una combinación lineal genérica$\vert\psi\rangle=\sum_ic_i\vert\psi_i\rangle$dónde$c_i\in\mathbb{C}$.

Esta declaración se llama la regla de Born.

Es necesario que se suministre con un axioma estrechamente relacionado que se conoce con el nombre de postulado de colapso o postulado de reducción de paquetes de ondas para dar una imagen "completa" de lo que sucede cuando realiza una medición. Dice que la mencionada medida evoluciona el estado$\vert\psi\rangle$a un estado propio$\vert\psi_i\rangle$correspondiente al resultado$\lambda_i$.

Todo esto se puede hacer un poco más general para encargarse de las mediciones de operadores con espectros degenerados usando los operadores de proyección, pero la idea básica ya está capturada aquí. En el caso de la medida de un operador$A$con valores propios distintos$\lambda_i$tal que$A=\sum_i\lambda_i\mathbb{P}_i$donde el$\mathbb{P}_i$s son los operadores de proyección correspondientes a la$i^\mathrm{th}$subespacio propio, la probabilidad de que el resultado de la medición produzca$\lambda_i$es dado por

$$\begin{align}p_i=\frac{\langle\psi\vert\mathbb{P}_i\vert\psi\rangle}{\langle\psi\vert\psi\rangle}\end{align}$$

El postulado de reducción de paquetes de ondas ahora dice que la medida antes mencionada evoluciona el estado$\vert\psi\rangle$al Estado$\frac{\mathbb{P}_i\vert\psi_i\rangle}{\langle\psi\vert\mathbb{P}_i\vert\psi\rangle}$correspondiente al resultado de la medición$\lambda_i$. Observe que aquí se necesita el denominador para garantizar que el estado resultante se normalice.

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En los libros de texto estándar de mecánica cuántica, ambos se toman siempre, hasta donde yo sé, como axiomas básicos. Uno puede formular su mecánica cuántica usando un formalismo matemático diferente, pero aún tienen que proporcionar alguna traducción de estos axiomas como axiomas en su marco también, siempre que realmente sean solo otra formulación de la mecánica cuántica de libro de texto estándar en su contenido físico.

Habiendo dicho eso, ha habido intentos, comenzando en 1957 y continuando hasta el día de hoy, para derivar la regla Born. Ha habido principalmente tres enfoques para intentar la derivación:

• Enfoques teóricos de la medida/frecuentistas

  • El teorema de Gleason de 1957, bastante teórico de la medida y matemático, establece que en un espacio de Hilbert con$d>3$, la única medida de probabilidad consistente con los otros axiomas de la mecánica cuántica (linealidad, etc.) es la dada por la regla de Born.
  • La prueba de 1968 de la regla de Born de Hartle , en efecto, muestra que la regla de Born es la versión mecánica cuántica de la ley débil de los grandes números.
  • La prueba de 1989 de la regla Born de Fahri, Goldstone y Gutman muestra que Born es la versión mecánica cuántica de la ley fuerte de los grandes números.

• Enfoques basados ​​en simetría

  • El artículo de 2005 de Zurek deriva la regla de Born utilizando un argumento basado en la invariancia , que es una invariancia que exhiben los sistemas entrelazados con un entorno.
  • El artículo de 2015 de Carroll y Sebens deriva la regla de Born en el contexto de la formulación de muchos mundos de la mecánica cuántica. Utilizan el "principio de separabilidad epistémica", que es solo una forma extraña/elegante de decir que la probabilidad de un resultado de medición no debería depender de la evolución del entorno que está desacoplado y desenredado del sistema.

• Enfoques de la teoría de la decisión

  • Simplemente los menciono en aras de la exhaustividad y para invitar a un lector más informado a que se sienta libre de editar la respuesta y completar los detalles.

Ahora bien, ninguno de estos intentos ha sido aceptado, al menos hasta ahora, por la comunidad como verdaderas derivaciones de la regla Born. Básicamente, en la mecánica cuántica estándar, no hay una forma plausible de eliminar el axioma de reducción de paquetes de ondas (que debería acompañar a la regla de Born para que las probabilidades tengan sentido, de lo contrario, simplemente habría una evolución determinista según la ecuación de Schrödinger). Entonces, incluso si uno muestra que la regla de Born es la única medida de probabilidad consistente para los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica, no entra en contacto con las afirmaciones físicas hechas por los axiomas estándar. Otro enfoque, en particular, los artículos de Carroll y Deutsch (el último de los cuales ha trabajado en enfoques de la teoría de la decisión) se encuentran en el marco de la formulación de muchas palabras. Allá, puede dar sentido a la reducción de paquetes de ondas como la reducción del estado relativo de un sistema con respecto a un observador sin violar la unitaridad subyacente. Sin embargo, es conceptualmente difícil derivar allí la regla de Born. Una razón es que el simple conteo de ramas conduce a una contradicción con la regla de Born. Y los enfoques epistémicos más sofisticados han sido criticados por ser circulares o descuidados.

Puede ver las críticas a las derivaciones de la regla Born en artículos de Adrian Kent, 1997 y 2014 . También recomendaría echar un vistazo a esta respuesta a mi pregunta reciente para @ChiralAnomalyobtener algunos comentarios generales sobre las derivaciones de la regla de Born.