¿Cómo demuestro que existe un principio variacional/de acción para un sistema clásico dado?

I) No todas las ecuaciones de movimiento (eom) son variacionales. Un ejemplo famoso es la forma de cinco auto-dual en la teoría de supercuerdas de tipo IIB. En la mecánica de puntos clásica, las fuerzas de fricción suelen conducir a problemas no variacionales.

II) Considere por ejemplo$n$variable$q^i$y$n$ems,

$$\tag{1} E_i~\approx~ 0, \qquad i~\in~\{1, \ldots, n\}.$$

Una versión simplificada del problema de OP (v3) es la siguiente:

¿Existe una acción?

$$\tag{2} S[q] ~=~\int{\rm d}t~L$$ tal que las derivadas de Euler-Lagrange $$\tag{3} \frac{\delta S}{\delta q^i}~=~E_i$$ convertirse precisamente en lo dado$E_i$-funciones?

El problema restringido anterior es relativamente fácil de responder de una vez por todas, porque uno puede diferenciar lo conocido$E_i$-funciones para llegar a un conjunto de condiciones de consistencia. Supongamos por simplicidad que las funciones$E_i=E_i(q)$no involucran velocidades generalizadas$\dot{q}^i$, aceleraciones$\ddot{q}^i$, Etcétera. Entonces podemos suponer que el Lagrangiano$L$no depende de las derivadas temporales de$q^i$también. Entonces la pregunta es si

$$\tag{4} \frac{\partial L}{\partial q^i}~=~E_i ?$$

Podemos recopilar la información de los eoms en un solo formulario

$$\tag{5} E~:=~E_i ~{\rm d}q^i.$$

La pregunta se reescribe como

$$\tag{6} {\rm d}L~=~E?$$

De ahí el lagrangiano$L$existe si$E$es una forma exacta.

III) Sin embargo, la discusión anterior está simplificada en muchos sentidos. ¡Los eoms (1) no tienen una forma única! Por ejemplo, uno puede multiplicar el dado$E_i$-funciones con un invertible$q$-matriz dependiente$A^i{}_j$tal que los eoms (1) se leen de manera equivalente

$$\tag{7} \sum_{i=1}^n E_i A^i{}_j~\approx~ 0.$$

O tal vez las variables del sistema$q^i$debe verse como un subsistema de un sistema más grande con más variables dinámicas o auxiliares?

En última instancia, la pregunta principal es si los eoms tienen un principio de acción o no; la forma particular de los eoms (que arrojan las ecuaciones de Euler-Lagrange) no es importante en este contexto.

Esto abre muchas posibilidades, y puede ser muy difícil encontrar sistemáticamente un principio de acción; o por el contrario, para probar un teorema de no-go de que un conjunto dado de eoms no es variacional.

Obviamente, uno puede inventar matemáticamente ecuaciones de movimiento que no surgirían de un principio de acción.

La motivación original para creer que la Naturaleza obedece a una Ley de Mínima Acción era metafísica, y luego resultó que en realidad sólo se podía garantizar que la acción era estacionaria , no necesariamente mínima, lo que arruinaba la metafísica... además, se debe cuidado con postular que la Naturaleza tiene que hacer algo que hemos deducido en base a motivaciones filosóficas.

Pero desde Hertz y Einstein, ha habido otra motivación. (Queda por ver si resistirá la prueba del tiempo mejor que la teoría de cuerdas...) Gauss, Hertz, y después de ellos, Klein (ver Whittaker, Analytical Dynamics , p. 254ff. y Hertz, The Principles of Mechanics , http://www.archive.org/details/principlesofmech00hertuoft ) reformuló la mecánica newtoniana en términos de un espacio curvo abstracto en el que todas las partículas seguían geodésicas. La métrica del espacio se elaboró ​​a partir de las fuerzas que actúan sobre el sistema, y ​​todas las leyes de la mecánica se redujeron al principio de mínima curvatura de Hertz.en lugar de la mínima acción. Ahora, después de Einstein, sabemos que si interpretamos la gravedad como la métrica del espacio-tiempo, entonces las partículas bajo la influencia de la gravedad siguen una geodésica. Esta es una generalización del muy antiguo principio de inercia: con Newton se estableció que una partícula sobre la que no actúa una fuerza viaja en línea recta, es decir, una geodésica en un espacio newtoniano plano. Einstein reformuló esto como se indicó anteriormente. La búsqueda de una teoría del campo unificado (no cuántica) siempre estuvo motivada por esto: definir una geometría en el espacio-tiempo basada en las fuerzas de la Naturaleza para que todas las trayectorias fueran geodésicas. La percepción física aquí es la misma que la que subyace en la ley original de la inercia: el movimiento natural , sin restricciones, es recto ., es decir, geodésico. Pero las geodésicas siempre obedecen a algún principio de variación.

Si tomamos en serio el punto de vista de Einstein y pensamos que sobrevivirá cuando se lo trate de forma mecánica cuántica, entonces la respuesta a su pregunta sería: si el conjunto de trayectorias surge como el conjunto de geodésicas de alguna métrica en el espacio relevante, entonces no hay es un principio de acción físicamente significativo que gobierna la dinámica.

Observación : he decidido volver a trabajar esta respuesta por completo. No estaba contento con él y estaba incompleto. He reemplazado las derivadas funcionales como herramienta principal con los operadores de Euler y Helmholtz, ya que es matemáticamente más riguroso de esa manera.

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El problema sobre el que pregunta OP se llama el problema inverso al cálculo de variaciones . Es útil separar este problema en dos ramas, el problema inverso débil y el problema inverso fuerte (estos no son nombres estándar). Además de eso, también es útil separarlos en problemas globales y locales .

Esta respuesta se centrará en el problema local débil, pero también haré algunos comentarios sobre el problema global y fuerte.

1 . Preliminares:

Arreglemos primero algunas notaciones.

Variables, índices. Consideramos$m$variables independientes$x=(x^1,\dots,x^m)=(x^i)$y$n$componentes de campo$\psi(x)=(\psi^1(x),\dots,\psi^n(x))=(\psi^\sigma(x))$.

El espacio de variables independientes se denota$X\subseteq\mathbb R^m$y se considera que es un subconjunto abierto de cartesiano$m$-espacio. Como estamos interesados ​​en los aspectos formales del cálculo de variaciones, supondré que todos los campos/funciones son$C^\infty$ya que no tengo interés en considerar extremos débiles y este tipo de problemas aquí.

Como se indica, los índices latinos$i,j,k,\dots$tomar los valores$1,\dots,m$y los índices griegos toman los valores$1,\dots,n$. Se asume la convención de suma, excepto por los multiíndices que se presentarán más adelante.

Suponemos a lo largo de esta respuesta que tanto el conjunto$X$de variables independientes, y el espacio de campo involucrado son contraíbles a$0$, lo que significa explícitamente que si$x$es un conjunto permitido de variables, entonces también lo es$sx$por$0\le s\le 1$, y si$\psi$es una configuración de campo permitida, entonces$s\psi$también es un campo permitido para$0\le s\le 1$.

Funcionales. El objeto$f$es un funcional local si mapea un campo$\psi$en una función $f[\psi]$definido en$X$tal que el valor$f[\psi](x)$depende solo de$x$y los valores de las derivadas de$\psi$hasta algún orden finito$r$que se llama el orden de$f$. Tenga en cuenta que si$f$es orden$r$entonces también es trivialmente orden$s$por$s\ge r$.

Entonces podemos escribir

$$f[\psi](x)=f(x,\psi(x),\psi^{(1)}(x),\dots,\psi^{(r)}(x)),$$ dónde $$\psi^{(r)}(x):=\left(\psi^\sigma_{i_1...i_r}(x)\right)_{i_1\le\cdots\le i_r},$$ y$\psi^\sigma_{i_1...i_r}:=\partial_{i_1}\dots\partial_{i_r}\psi^\sigma$. la restricción$i_1\le\dots\le i_r$es necesario porque las derivadas superiores son simétricas en los índices y, por lo tanto, solo son independientes si las restringimos de esta manera.

Nos referiremos a un funcional local.$L[\psi]=L(x,\psi,\dots,\psi^{(r)})$de un solo componente como un Lagrangiano , y a un funcional local$\varepsilon_\sigma[\psi]=\varepsilon_\sigma(x,\psi,\dots,\psi^{(r)})$con$n$(número de componentes de campo) componentes como una expresión de origen .

Derivados. Porque es inconveniente ordenar las sumas, si$f$es un let funcional local

$$\frac{\eth f}{\eth \psi^\sigma_{i_1...i_k}},\quad i_1\le\dots \le i_k$$ denote las derivadas con respecto a las variables derivadas. Extender estas derivadas simétricamente a todos los órdenes de los índices$i_1\dots i_k$, luego defina la derivada simétrica como $$\frac{\partial f}{\partial \psi^\sigma_{i_1...i_k}}:=\frac{m_1!\dots m_m!}{k!}\frac{\eth f}{\eth \psi^\sigma_{i_1...i_k}},$$ dónde$m_i$es el número de veces que el índice$i$aparece en$i_1\dots i_k$. Este coeficiente multinomial asegurará que la regla de la cadena se pueda usar con derivadas simétricas sin factores adicionales. Hacemos notar que $$\frac{\partial \psi^\sigma_{j_1...j_k}}{\partial\psi^\tau_{i_1...i_k}}=\delta^\sigma_\tau\delta^{i_1}_{(j_1}\dots\delta^{i_k}_{j_k)}.$$ Con estas convenciones, la derivada total de un funcional local es $$d_if\equiv\frac{df}{dx^i}=\frac{\partial f}{\partial x^i}+\sum_{k=0}^r\psi^\sigma_{i_1...i_ki}\frac{\partial f}{\partial\psi^\sigma_{i_1...i_k}}.$$

multiíndices. Para índices latinos, un multiíndice $I$de longitud$r$es una lista ordenada de$r$índices ordinarios, ej.$I=(i_1\dots i_r)$. Para la longitud escribimos$|I|=r$.

Solo usamos multiíndices para cantidades que son simétricas en sus índices, y la convención de sumatoria no es válida para ellos, es decir, siempre indicamos sumatorias sobre multiíndices. Esto se debe a que los multiíndices se pueden sumar de varias formas. Por ejemplo, la derivada total se puede escribir como

$$d_i f=\frac{\partial f}{\partial x^i}+\sum_{|I|=0}^r\psi^\sigma_{Ii}\frac{\partial f}{\partial\psi^\sigma_I}.$$

2. Los problemas inversos débiles y fuertes:

En esencia, el problema inverso es el siguiente. Si$L[\psi]$es un lagrangiano de orden$r$, entonces el operador de Euler-Lagrange (EL)

$$E_\sigma(L)=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{I}},\quad (-d)_I =(-1)^{|I|}d_I,\quad d_I=d_{i_1}\dots d_{i_k}$$ lo mapea en una expresión fuente de orden$2r$.

Entonces, dada una ecuación diferencial representada al establecer una expresión fuente en cero, es decir

$$\varepsilon_\sigma[\psi]=0,$$ cuando un lagrangiano$L$existir tal que$E_\sigma(L)=\varepsilon_\sigma$, y cómo encontrar uno (o mejor aún, todos) tales Lagrangianos. Si existe un lagrangiano para$\varepsilon_\sigma$, entonces decimos que es variacional .

Estrictamente hablando, este es el problema inverso débil . Como lo indica la respuesta de Qmechanic, la principal dificultad no es resolver el problema débil, sino que las ecuaciones EL siempre tienen una forma algebraica específica. Es fácil ver que por ejemplo si$\varepsilon_\sigma$es una expresión EL y$f$es una función (ni siquiera tiene que ser un funcional local), entonces$f\varepsilon_\sigma$ya no es una expresión EL. Pero si$f$es en ninguna parte cero, entonces las soluciones de$\varepsilon_\sigma[\psi]=0$y$f\varepsilon_\sigma[\psi]=0$coinciden claramente.

Entonces, el problema de la inversa fuerte se trata de caracterizar cuándo una expresión fuente es equivalente a una que es variacional.

Analogía. El problema es bastante similar a un problema análogo en cálculo ordinario/geometría diferencial para el cual el teorema de integrabilidad de Frobenius proporciona una solución adecuada (desafortunadamente para el problema variacional fuerte, no conocemos ningún "teorema variacional de Frobenius").

Para considerar un "ur-ejemplo", dejemos$\omega$frijol$1$-forma en una variedad de dimensión finita y estamos interesados ​​en averiguar cuándo es$\omega$ortogonal a una pila de (hiper)superficies (es decir, una foliación). Sabemos que las foliaciones por hipersuperficies pueden describirse localmente como conjuntos de niveles de una función suave con diferencial que no desaparece, por lo que podemos intentar verificar la condición$\omega=df$, que - según el lema de Poincaré - es localmente equivalente a$d\omega=0$, y de hecho a través de los habituales operadores de homotopía de Rham, un apropiado$f$puede construirse explícitamente.

Pero esta condición es demasiado restrictiva,$\omega$sigue siendo ortogonal a la foliación si hay una función$g$tal que$\omega=gdf$, pero$\omega$no es necesariamente exacta en este caso. El teorema de Frobenius establece que las condiciones de integrabilidad local completa de esta ecuación son$d\omega\wedge\omega=0$, es decir$\omega$ya no tiene que estar cerrado, sino solo "módulo cerrado en sí mismo".

Multiplicadores variacionales. En consecuencia, deja$\varepsilon_\sigma[\psi]$ser una expresión fuente, y$A^\sigma_{\ \tau}[\psi]$una matriz invertible cuyos elementos son también funcionales locales. Esta matriz es un multiplicador variacional para$\varepsilon$si la expresión fuente

$$\bar{\varepsilon}_\sigma[\psi]=A^\tau_{\ \sigma}[\psi]\varepsilon_\tau[\psi]$$ es variacional.

El problema del multiplicador es una forma del problema inverso fuerte que se ocupa de la cuestión de caracterizar las expresiones fuente que admiten multiplicadores variacionales.

Problemas más generales. Los multiplicadores variacionales no agotan todas las posibilidades del problema inverso fuerte. Por ejemplo, además de las variables de campo$\psi^\sigma$, también se pueden introducir otras variables$\lambda^\alpha$tal que la dinámica deseada del$\psi^\sigma$surgen como la dinámica de un subsistema del sistema que consta de las variables totales$\psi$y$\lambda$(y tal vez este último se puede hacer variacional). Esto puede dar una equivalencia aproximada al sistema original, o puede suceder que el$\lambda$son multiplicadores de Lagrange son variables de "medida pura" y sus propias dinámicas no son observables o están desacopladas de las de$\psi$.

También está el ejemplo de las ecuaciones de Maxwell donde las ecuaciones originales de Maxwell de primer orden para$F_{ij}$no son variacionales, pero una de las ecuaciones se puede resolver (al menos localmente, a través del lema de Poincaré) para los potenciales$A_i$, luego reinsertar los potenciales en la otra ecuación ahora proporciona una ecuación de segundo orden para los potenciales que es variacional.

Ejemplos. Aquí consideramos dos ejemplos de multiplicadores variacionales:

1. La ecuacion$\varepsilon[\psi]=m\psi^{\prime\prime}+k\psi^\prime+\frac{\partial U}{\partial\psi}$($m=n=1$) que cuando$x$se interpreta como tiempo y$\psi$como la posición (y los primos son$x$-derivados) describe el movimiento unidimensional de una partícula afectada por un potencial$U=U(x,\psi)$y también una fuerza disipativa (resistencia al aire) proporcional a la velocidad. Esta ecuación no es variacional, pero si multiplicamos por$\exp(\frac{k}{m}x)$, se vuelve variacional con Lagrangiano $$L[\psi]=e^{\frac{k}{m}x}\left(\frac{1}{2}m\psi^{\prime 2}-U\right).$$
2. La ecuación de campo (de vacío) de Einstein$\varepsilon_{ij}[g]=G_{ij}[g]$($G_{ij}=R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}$es el tensor de Einstein) no es variacional. Sin embargo, si tomamos como expresión fuente el tensor de Einstein densificado $\mathfrak G_{ij}=G_{ij}\sqrt{-\mathfrak g}$(aquí$\mathfrak g$es el determinante métrico), entonces se vuelve variacional y un posible Lagrangiano es el Lagrangiano de Einstein-Hilbert de segundo orden $$L[g]=R\sqrt{-\mathfrak g}.$$

Soluciones. El problema inverso fuerte no tiene una solución completa actualmente. Existen algunos resultados parciales que voy a mencionar con enlaces al final de esta respuesta.

3. Solución del problema inverso local débil:

En esta sección detallamos la solución al problema inverso débil y local. Por lo tanto, el problema es determinar cuándo es una expresión fuente$\varepsilon_\sigma[\psi]$variacional como es , y determine un Lagrangiano. La localidad aquí significa que estamos trabajando en un espacio de coordenadas contráctil (como se mencionó en la introducción) en lugar de una variedad general y, por lo tanto, no pueden surgir obstrucciones topológicas.

La solución será "de tipo Rham", es decir, podemos definir un complejo cochain formal

$$\left\{\text{Currents}\right\}\xrightarrow{\mathrm{Div}}\left\{\text{Lagrangians}\right\}\xrightarrow{E}\left\{\text{Source expr.}\right\}\xrightarrow{H}\left\{\text{Lin. diff. ops.}\right\},$$ donde las corrientes son funcionales locales$K^i[\psi]$con$m$componentes ("campos vectoriales" funcionales),$\mathrm{Div}$está tomando la divergencia total, es decir$\mathrm{Div}(K)=d_i K^i$,$E$es el operador de Euler-Lagrange y$H$es algo llamado el operador de Helmholtz que toma expresiones fuente y las asigna a los coeficientes de ciertos operadores diferenciales lineales formalmente anti-autoadjuntos.

La propiedad crucial es que esto es de hecho un complejo cocadena en el que la composición de dos flechas subsiguientes da cero, es decir$E\circ\mathrm{Div}=0$y$H\circ E=0$. Tal sucesión es exacta si, en cierto sentido, lo contrario también es cierto, es decir, si$E(L)=0$para un lagrangiano, entonces hay una corriente$K$tal que$L=\mathrm{Div}(K)$y si$H(\varepsilon)=0$para una expresión fuente, entonces hay un Lagrangiano$L$tal que$\varepsilon=E(L)$.

La exactitud se prueba más fácilmente en términos de operadores de homotopía , es decir, necesitamos encontrar tres operadores lineales

$$\mathbb Q:\left\{\text{Lin. diff. ops.}\right\}\rightarrow \left\{\text{Source expr.}\right\}, \\ \mathbb{L}:\left\{\text{Source expr.}\right\}\rightarrow \left\{\text{Lagrangians}\right\}, \\ \mathbb H: \left\{\text{Lagrangians}\right\}\rightarrow \left\{\text{Currents}\right\},$$ que satisfacen $$L=\mathbb L(E(L))+\mathrm{Div}(\mathbb H(L)),\qquad (\ast) \\ \varepsilon=\mathbb Q(H(\varepsilon))+E(\mathbb L(\varepsilon)),\qquad \quad(\ast\ast)$$ para todos los lagrangianos$L$y expresiones fuente$\varepsilon$. En esta respuesta me referiré a$(\ast)$como la primera fórmula de homotopía y$(\ast\ast)$es la segunda fórmula de homotopía . El operador de homotopía$\mathbb L$a menudo se llama el operador de Vainberg-Tonti y su valor$\mathbb L(\varepsilon)$en una expresión fuente como el Lagrangiano de Vainberg-Tonti asociado a la expresión fuente$\varepsilon$. los operadores$\mathbb Q$y$\mathbb H$no tengo ningún nombre estándar, sin embargo estoy tentado a llamar$\mathbb H$el operador de Horndeski , ya que iirc fue derivado por primera vez por Horndeski en [1].

Está claro que el resultado de exactitud deseado se deriva de las fórmulas de homotopía ($\ast$) y ($\ast\ast$) ya que si$L$tiene ecuaciones EL que desaparecen entonces ($\ast$) da

$$L=\mathrm{Div}(\mathbb H(L)),$$ es decir$L$es la divergencia total de$\mathbb H(L)$, mientras tanto si$\varepsilon$tiene expresiones de Helmholtz que desaparecen, entonces ($\ast\ast$) da $$\varepsilon=E(\mathbb L(\varepsilon)),$$ es decir$\mathbb L(\varepsilon)$es un lagrangiano para$\varepsilon$.

Fórmulas de productos de orden superior y operadores de Euler. Antes de continuar necesitamos algunas herramientas combinatorias para poder hacer frente al elevado número de derivadas que aparecen en un problema de variación de órdenes arbitrarios.

Si$f,g^I=g^{i_1...i_r}$son funciones (suaves) en$X$(no es necesario que sean funcionales) con$g^I$simétrica en sus índices, tenemos la fórmula del producto superior

$$\sum_{|I|=r}\partial_I(fg^I)=\sum_{|I|+|J|=r}C^{|I|+|J|}_{|I|}\partial_If\partial_J g^{IJ},$$ dónde $$C^{r}_{s}:=\left(\begin{matrix}r \\ s\end{matrix}\right)$$ es una notación corta para el coeficiente binomial.

También tenemos la fórmula de mayor integración por partes

$$\sum_{|I|=r}\partial_If g^I=\sum_{|I|+|J|=r}C^{|I|+|J|}_{|I|}\partial_I\left(f(-\partial)_J g^{IJ}\right).$$ Estos no son difíciles de probar por inducción en el orden.$r$de derivados.

deja ahora$L=L[\psi]$sea ​​un lagrangiano de orden$r$y calculamos su variación que da

$$\delta L[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^r\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}\delta\psi^\sigma_I=\sum_{|I|+|J|=0}^r C^{|I|+|J|}_{|I|}d_I\left(\delta\psi^\sigma(-d)_J\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{IJ}}\right),$$ donde se ha utilizado la fórmula de integración por partes de orden superior. Ahora cambiamos la suma de modo que primero$|J|$viene de$0$a$r-|I|$, después$|I|$viene de$0$a$r$(estos son equivalentes) para obtener $$\delta L[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^r d_I\left(\delta\psi^\sigma\sum_{|J|=0}^{r-|I|}C^{|I|+|J|}_{|I|}(-d)_J\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{IJ}}\right) \\ =\sum_{|I|=0}^r d_I(E^I_\sigma(L)\delta\psi^\sigma),$$ dónde $$E^I_\sigma(L)=\sum_{|J|=0}^{r-|I|}C^{|I|+|J|}_{|I|}(-d)_J\frac{\partial L}{\partial \psi^\sigma_{IJ}},\quad 0\le|I|\le r$$ son los llamados operadores de Euler superiores (también llamados operadores de Lie-Euler por Anderson en [2]).

Aplicando la fórmula del producto a la expresión definitoria también obtenemos la relación inversa

$$\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}=\sum_{|J|=0}^\infty C^{|I|+|J|}_{|I|}d_JE^{IJ}_\sigma(L),$$ donde la suma es finita, simplemente no me molesté en calcular cuál es el último término distinto de cero.

Para$|I|=0$claramente$E_\sigma$es solo el operador ordinario de Euler-Lagrange, y al dividir las sumas también tenemos la primera fórmula de variación

$$\delta L[\psi,\delta\psi]=E_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma+d_i\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma\right),$$ donde también escribimos $$\Theta^i(L)[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma\right).$$

La primera fórmula de homotopía. Una relación que necesitamos aquí es que para cualquier funcional local$f[\psi]$tenemos

$$(d_if)[s\psi]=d_i(f[s\psi])$$ para un parámetro real$s$, es decir, primero podemos tomar la derivada total, luego evaluar en$s\psi$o evaluar primero en$s\psi$y luego tome la derivada total y ambos darán los mismos resultados. Esto es fácil de probar escribiendo explícitamente la derivada total.

Luego calculamos$dL[s\psi]/ds$, dónde$L$es un lagrangiano de orden$r$Llegar

$$\frac{d}{ds}L[s\psi]=\sum_{|I|=0}^r\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}[s\psi]\psi^\sigma_I=E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma+d_i\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right),$$ donde básicamente hemos seguido los mismos pasos que la demostración de la fórmula de la primera variación.

Ahora integramos esto de$0$a$1$con respecto a$s$, donación

$$L[\psi]-L[0]=\int_0^1E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma ds+d_i\int_0^1\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)ds.$$

Aquí podemos usar el hecho de que$L[0]$ahora ya no es un funcional local, solo una función ordinaria de las coordenadas$x^i$, por lo que se aplica el lema habitual de Poincaré, y debido a que el dominio$X$es contraible a cero, podemos expresar$L[0]$como una divergencia:

$$L[0](x)=\partial_i\int_0^1 s^{m-1}L[0](sx)x^i ds,$$ y aquí podemos reemplazar las derivadas parciales con derivadas totales ya que$L[0]$es constante como funcional, que al insertarse en la fórmula anterior da $$L[\psi]=\int_0^1E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma ds+d_i\int_0^1\left(\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)+s^{m-1}L[0](sx)x^i\right)ds.$$

Esta es la fórmula de homotopía deseada ($\ast$) y podemos leer los operadores de homotopía para ser

$$\mathbb L(\varepsilon)[\psi]=\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]\psi^\sigma ds$$ y $$\mathbb H^i(L)[\psi]=\int_0^1\left(\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)+s^{m-1}L[0](sx)x^i\right)ds.$$ La segunda fórmula de homotopía. Este es un buen lugar para definir el operador de Helmholtz$H$actuando sobre una expresión fuente$\varepsilon=(\varepsilon_\sigma)$de orden$r$por $$H^I_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}-(-1)^{|I|}E_\sigma^I(\varepsilon_\tau),\quad 0\le |I|\le r.$$ Cuando la expresión fuente es order$2$como es bastante común, las expresiones de Helmholtz distintas de cero son $$H_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau}-\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma}+d_i\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_i}-d_id_j\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}} \\ H^i_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_i}+\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_i}-2d_j\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}} \\ H^{ij}_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_{ij}}-\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}}.$$

Ahora tomamos una forma de fuente arbitraria$\varepsilon_\sigma[\psi]$de decir orden$r$y comparar$\varepsilon$a$E(\mathbb L(\varepsilon))$. Primero calculamos

$$\frac{d}{ds}\left(s\varepsilon_\sigma[s\psi]\right)=\varepsilon_\sigma[s\psi]+\sum_{|I|=0}^rs\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]\psi^\tau_I,$$ e integrar esto de$0$a$1$Llegar $$\varepsilon_\sigma[\psi]= \int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi] ds+\int_0^1\sum_{|I|=0}^rs\frac{\partial \varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]\psi^\tau_I .$$

Luego calculamos

$$E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\frac{\partial}{\partial\psi^\sigma_I}\int_0^1\varepsilon_\tau[s\psi]\psi^\tau ds \\=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\int_0^1s\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_I}[s\psi]\psi^\tau ds+\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]ds,$$ luego use la fórmula del producto de orden superior y la definición de los operadores de Euler en el primer término para obtener $$E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\int_0^1\sum_{|I|=0}^r(-1)^{|I|}s\psi^\tau_IE^I_\sigma(\varepsilon_\tau)[s\psi]ds+\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]ds.$$ La resta ahora da $$\varepsilon_\sigma[\psi]-E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\int_0^1s\sum_{|I|=0}^r\left(\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]-(-1)^{|I|}E_\sigma^I(\varepsilon_\tau)[s\psi]\right)\psi^\tau_Ids \\ =\int_0^1 s\sum_{|I|=0}^r H^I_{\sigma\tau}(\varepsilon)[s\psi]\psi^\tau_I ds,$$ lo que prueba la segunda fórmula de homotopía ($\ast\ast$) con $$\mathbb Q_\sigma(A)[\psi]=\int_0^1 \sum_{|I|=0}^rA^I_{\sigma\tau}[s\psi]s\psi^\tau_I ds.$$

Para completar las demostraciones de todas las relaciones presentadas anteriormente, todavía necesitamos demostrar que$H(E(L))=0$, es decir, el operador de Helmholtz desaparece en las expresiones EL.

Esto se prueba más fácilmente definiendo$\mu=dx^1\wedge\dots dx^m$y la acción funcional

$$S_\Omega[\psi]=\int_\Omega L[\psi]\mu$$ asociado con el lagrangiano$L$, dónde$\Omega$es un dominio regular (compacto, es la clausura de un conjunto abierto, su límite es suave por partes, etc., es decir, se le aplica el teorema de Stokes), entonces consideramos una familia suave de dos parámetros$\psi_{t,s}^\sigma(x)$de campos tales que$\psi_{0,0}=\psi$. Dejar$\delta_1:=\frac{\partial}{\partial s}|_{s=t=0}$y$\delta_2:=\frac{\partial}{\partial t}|_t=0$. Entonces por la conmutatividad de derivadas parciales tenemos $$0=\left.\frac{\partial S_\Omega[\psi_{t,s}]}{\partial s\partial t}\right|_{t=s=0}-\left.\frac{\partial S_\Omega[\psi_{t,s}]}{\partial t\partial s}\right|_{t=s=0}=\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}\left(\frac{\partial E_\sigma(L)}{\partial\psi^\tau_I}\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma-\frac{\partial E_\tau(L)}{\partial\psi^\sigma_I}\delta_1\psi^\tau\delta_2\psi^\sigma_I\right)\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu.$$ Integramos por partes en el segundo término para obtener $$0=\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}\left(\frac{\partial E_\sigma(L)}{\partial\psi^\tau_I}-(-1)^{|I|}E^I_\sigma(E_\tau(L))\right)\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu \\ =\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}H^I_{\sigma\tau}(E(L))\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu.$$ Dado que esto es cierto para variaciones arbitrarias$\delta_1\psi$y$\delta_2\psi$, establecimos$\delta_2\psi$ser una función de choque con soporte estrecho dentro$\Omega$. Entonces el término de divergencia se desvanece (es un término de frontera), y por el argumento usual del lema de Lagrange, los coeficientes de$\delta_2\psi$debe desaparecer también. Obtenemos $$0=\sum_{|I|=0}^{2r}H^I_{\sigma\tau}(E(L))\delta_1\psi^\tau_I.$$ De ello se deduce que todas las expresiones de Helmholtz$H^I_{\sigma\tau}(E(L))$debe desaparecer por separado, porque podemos, por ejemplo. establecer$\delta_1\psi$ser una constante arbitraria, lo que fuerza$H_{\sigma\tau}(E(L))$para desaparecer, cuando podemos establecer$\delta_1\psi$tal que sus primeras derivadas son arbitrarias, lo que obliga a$H^i_{\sigma\tau}(E(L))$desaparecer, entonces podemos establecer$\delta_1\psi$tener segundas derivadas arbitrarias (simétricas en los índices, pero también lo es$H$), lo que obliga$H^{ij}_{\sigma\tau}(E(L))$desaparecer, etc. Así tenemos $$H^I_{\sigma\tau}(E(L))=0\quad 0\le |I|\le 2r$$ para todos los lagrangianos$L$de orden$r$como hemos afirmado.

Con esto concluye el tratamiento del problema inverso débil local.

Finalmente remarcamos que el operador de Vainberg-Tonti$\mathbb L$y el operador Horndeski$\mathbb H$no son "eficientes" en el sentido de que normalmente producen objetos de orden superior al necesario. El operador EL convertirá un Lagrangiano de orden$r$en una fuente de expresión de orden$2r$, pero el Vainberg-Tonti Lagrangiano de un orden$2r$la expresión fuente es orden$2r$también. Asimismo, una corriente de orden$r-1$se diferencia en un Lagrangiano de orden$r$, pero la corriente Horndeski de una orden$r$Lagrangiano es orden$2r-1$.

Algunos resultados de reducción de pedidos se pueden encontrar en [2].

4. Consideraciones globales:

Si la estructura global de estos operadores y la validez global (o la falta de ella) de las fórmulas de homotopía ($\ast$) y ($\ast\ast$) van a ser investigados, se necesita una formulación geométrica diferencial adecuada del cálculo de variaciones.

En este caso$X$es un$m$variedad dimensional y consideramos una variedad fibrada$\pi:Y\rightarrow X$sobre$X$con$n$fibras dimensionales. Las funciones de campo que aparecen en el problema variacional se interpretan como secciones de$\pi$.

Entonces se puede construir la prolongación del chorro infinito$J^\infty Y$de este múltiple fibrado y este es el lugar donde viven los "funcionales locales". Los objetos relevantes son en realidad formas diferenciales en este espacio. Tenemos un doble complejo diferencial bigraduado$(\mathcal O^{\bullet,\bullet}(Y),d_H,\delta)$de formas diferenciales en$J^\infty Y$dónde$\mathcal O^{k,l}(Y)$es el conjunto de formas diferenciales con$k$horizontales y$l$grados de contacto. El diferencial horizontal

$$d_H:\mathcal O^{k,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{k+1,l}(Y)$$ es lo que corresponde a tomar divergencias totales y el diferencial vertical $$\delta:\mathcal O^{k,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{k,l+1}(Y)$$ corresponde a tomar variaciones. Los grados horizontales están limitados a$m$mientras que los grados verticales pueden aumentar indefinidamente.

Uno puede definir operadores$I:\mathcal O^{m,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{m,l}(Y)$por$l\ge 1$que tiene la propiedad de que los espacios$\mathcal F^l(Y):=I(\mathcal O^{m,l}(Y))$aparecen en la descomposición de suma directa

$$\mathcal O^{m,l}(Y)=\mathcal F^l(Y)\oplus d_H\mathcal O^{m-1,l}(Y).$$ Entonces el doble complejo diferencial anterior aumentado con los espacios$\mathcal F^l(Y)$se llama el bicomplejo variacional asociado con la variedad de fibras$\pi:Y\rightarrow X$. Específicamente de mayor interés es la secuencia $$0\xrightarrow{}\mathbb R\xrightarrow{}\mathcal O^{0,0}\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{1,0}\xrightarrow{}\cdots\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{m-1,0}\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{m,0} \\ \mathcal O^{m,0}\xrightarrow{\delta_\ast}\mathcal F^1\xrightarrow{\delta_\ast}\mathcal F^2\xrightarrow{\delta_\ast}\cdots,$$ dónde$\delta_\ast=I\circ\delta$es el diferencial inducido. Esta secuencia se llama secuencia variacional o secuencia de Euler-Lagrange .

El término$\mathcal O^{m-1,0}(Y)$puede interpretarse como el espacio de corrientes,$\mathcal O^{m,0}(Y)$como el espacio de lagrangianos,$\mathcal F^1(Y)$como el espacio de las expresiones fuente y$\mathcal F^2(Y)$como el espacio de los operadores diferenciales lineales apropiados en los que se mapea el operador de Helmholtz. los diferenciales$\delta_\ast$reproducir el operador EL cuando se aplica a$\mathcal O^{m,0}$y el operador de Helmholtz cuando se aplica a$\mathcal F^1(Y)$.

A través de métodos de álgebra homológica y teoría de haces, es posible calcular la cohomología del complejo variacional. Resulta que

$$H(\mathcal O^{k,0}(Y))\cong H^k_{\mathrm{dR}}(Y)$$ y $$H(\mathcal F^k(Y))\cong H^{m+k}_{\mathrm{dR}}(Y),$$ es decir, la cohomología del complejo variacional es isomorfa a la cohomología de De Rham de$Y$, que permite aprender las obstrucciones globales a la exactitud mediante el cálculo de la cohomología de$Y$.

5. Comentarios sobre las soluciones parciales al problema inverso fuerte:

[Trabajo en progreso]

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Referencias:

• [1] GW Horndeski: Condiciones de suficiencia bajo las cuales un Lagrangiano es una divergencia ordinaria. (1975)
• [2] IM Anderson: The Variational Bicomplex (libro/informe técnico inconcluso e inédito; se puede encontrar fácilmente en Internet; sigue siendo el trabajo "canónico" sobre el tema)
• D. Krupka: Introducción a la Geometría Variacional Global

Los papeles originales son

• E. Tonti: Formulaciones variacionales de ecuaciones diferenciales no lineales (1969)
• MM Vainberg: Métodos variacionales para el estudio de operadores no lineales (1964)
• F. Takens: Una versión global del problema inverso del cálculo de variaciones (1979)
• A. Vinogradov: una secuencia espectral que está conectada con una ecuación diferencial no lineal y los fundamentos de geometría algebraica de la teoría del campo de Lagrange con restricciones (1978)
• WM Tulczyjew: La resolución de Euler-Lagrange (1980)
• IM Anderson, T. Duchamp: Sobre la existencia de principios variacionales globales (1980)