EDITAR: No me di cuenta de que pedisteyk
, por mal. Acabo de leer pasado y asumí lo obvio.
Puedes hacer lo mismo que mi primera respuesta:
( 1 + x )y= f( y)
Desde elk
la derivada seráregistrok( 1 + x )
tienes
( 1 + x )y=∑k = 0∞registrok( 1 + x )k !yk
No creo que puedas ir más lejos sin pasar mucho tiempo con lápiz y papel.
Asumir
( 1 + x )α=∑k = 0∞akXk
Ya que si dos series
∑ak( x − un )k∑bk( x − un )k
sumar a la misma función entonces
ak=bk=F( k )( un )k !
para cadak ≤ 0
, podemos suponer:
ak=F( k )( 0 )k !
Poniendoy=( 1 + x )α
obtenemos
y′( 0 ) = α
y"( 0 ) = α ( α − 1 )
y""( 0 ) = α ( α − 1 ) ( α − 2 )
yIV( 0 ) = α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ( α − 3 )
Podemos probar en general que
y( k )= α ( α - 1 ) ⋯ ( α - k + 1 )
o expresado en términos de factoriales
y( k )( 0 ) =α !( α - k ) !
Esto hace
ak=α !k ! ( α - k ) !
que es lo que queríamos.
( 1 + x )α=∑k = 0∞(αk)Xk
Puede probar esto de una manera más rigurosa mediante ecuaciones diferenciales:
- ColocarF( X ) =∑k = 0∞(αk)Xk
y demuestre que el radio de convergencia es 1.
- Muestra esaF( X )
es la solución a la ODE
y′−αx + 1y= 0
con condición inicialF( 0 ) = 1
.
- Por el teorema de que la solución a la ecuación lineal
y′+ pag( x ) y= R ( x )
con condiciones inicialesF( un ) = segundo
es único, puede probar la afirmación. (Pruebaloy=( 1 + x )α
también satisface la ecuación y ya está.)
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