¿Cuál es la idea de sumar esta serie de potencias?

Question

¿Cuál es la idea de sumar esta serie de potencias?

Matemáticas
serie de poder
análisis real
secuencias y series

david trono

Me dan la serie:

\sum_{norte = 1}^{+ \infty} ({norte}^{2} + norte + 1) X^{norte - 1}

$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2+n+1)x^{n-1}$ que es fácil de ver converge iff

| x | < 1

$|x|<1$ . Lo que me falta es la idea detrás del cálculo de la suma. Intenté considerar la serie.

\sum_{norte = 1}^{+ \infty} norte X^{norte - 1}

$\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}$ Vocación

L_{N}

$L_N$ la suma parcial hasta el índice

N

$N$ , vi que aguanta:

X L_{norte} - L_{norte} = - (1 + X + X^{2} + \dots + X^{norte - 1}) + norte X^{norte}

$xL_N-L_N=-(1+x+x^2+\ldots+x^{N-1})+Nx^N$ a partir del cual:

L = lim_{N} L_{N} = \frac{1}{(x - 1)^{2}}

$L=\lim_N L_N=\frac{1}{(x-1)^{2}}$ hasta los errores. Esperaba que este proceso pudiera ayudarme a encontrar la suma de

\sum_{n = 1}^{+ \infty} n^{2} x^{n - 1}

$\sum_{n=1}^{+\infty}n^2x^{n-1}$ . Noté que hay un patrón recursivo que de alguna manera me permite encontrar el anterior

L_{N}

$L_N$ en la suma parcial de la última serie, pero no pude escribirlo correctamente.

¿Es este el mejor enfoque para encontrar la suma general?

jair taylor

Intenta diferenciar

\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1 - x}

$\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}$ varias veces, término por término, y vea qué puede hacer con los resultados.

David G. Cigüeña

Matemática :

- \frac{x^{2} - 2 x + 3}{(x - 1)^{3}}

$-\frac{x^2-2 x+3}{(x-1)^3}$

once-once

también puedes considerar que

n^{2} + n + 1 = (n + 1) n + 1

$n^2+n+1=(n+1)n+1$ . Eso daría

({norte}^{2} + norte + 1) X^{norte - 1} = (norte + 1) norte X^{norte - 1} + X^{norte - 1}

$(n^2+n+1)x^{n-1}=(n+1)nx^{n-1}+x^{n-1}$ Luego puede volver a indexar una suma y usar las reglas de diferenciación para la otra.

Respuestas (3)

¿Cuál es la idea de sumar esta serie de potencias?

Intenta diferenciar $\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}$ varias veces, término por término, y vea qué puede hacer con los resultados.
también puedes considerar que $n^2+n+1=(n+1)n+1$ . Eso daría $({norte}^{2} + norte + 1) X^{norte - 1} = (norte + 1) norte X^{norte - 1} + X^{norte - 1}$ $(n^2+n+1)x^{n-1}=(n+1)nx^{n-1}+x^{n-1}$ Luego puede volver a indexar una suma y usar las reglas de diferenciación para la otra.

David G. Cigüeña · Answer 1

Divídelo en términos:

\sum_{norte = 1}^{\infty} {norte}^{2} X^{norte - 1} = \frac{- X - 1}{(X - 1)^{3}}

$\sum\limits_{n=1}^\infty n^2 x^{n-1} = \frac{-x-1}{(x-1)^3}$

\sum_{norte = 1}^{\infty} norte X^{norte - 1} = \frac{1}{(X - 1)^{2}}

$\sum\limits_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(x-1)^2}$

\sum_{norte = 1}^{\infty} X^{norte - 1} = \frac{- 1}{X - 1}

$\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1} = \frac{-1}{x-1}$

y luego sumarlos.

Claudio Leibovici · Answer 2

Un pequeño truco para este tipo de sumatoria

\sum_{norte = 1}^{+ \infty} ({norte}^{2} + norte + 1) X^{norte - 1}

$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2+n+1)x^{n-1}$

{norte}^{2} = norte (norte - 1) + norte ⟹ {norte}^{2} + norte + 1 = norte (norte - 1) + 2 norte + 1

$n^2=n(n-1)+n\implies n^2+n+1=n(n-1)+2n+1$

\sum_{norte = 1}^{+ \infty} ({norte}^{2} + norte + 1) X^{norte - 1} = \sum_{norte = 1}^{+ \infty} norte (norte - 1) X^{norte - 1} + 2 \sum_{norte = 1}^{+ \infty} norte X^{norte - 1} + \sum_{norte = 1}^{+ \infty} X^{norte - 1}

$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2+n+1)x^{n-1}=\sum_{n=1}^{+\infty}n(n-1)x^{n-1}+2\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}+\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n-1}$

\sum_{norte = 1}^{+ \infty} ({norte}^{2} + norte + 1) X^{norte - 1} = X \sum_{norte = 1}^{+ \infty} norte (norte - 1) X^{norte - 2} + 2 \sum_{norte = 1}^{+ \infty} norte X^{norte - 1} + \frac{1}{X} \sum_{norte = 1}^{+ \infty} X^{norte}

$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2+n+1)x^{n-1}=x\sum_{n=1}^{+\infty}n(n-1)x^{n-2}+2\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}+\frac 1x\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n}$

\sum_{norte = 1}^{+ \infty} ({norte}^{2} + norte + 1) X^{norte - 1} = X [\sum_{norte = 1}^{+ \infty} X^{norte}]^{″} + 2 [\sum_{norte = 1}^{+ \infty} X^{norte}]^{'} + \frac{1}{X} [\sum_{norte = 1}^{+ \infty} X^{norte}]

$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^2+n+1)x^{n-1}=x\Bigg[\sum_{n=1}^{+\infty}x^n\Bigg]''+2\Bigg[\sum_{n=1}^{+\infty}x^n\Bigg]'+\frac 1x\Bigg[\sum_{n=1}^{+\infty}x^n\Bigg]$

yngabl · Answer 3

Como comentario. Es un método general y su serie se puede obtener como

((X D_{X})^{2} + (X D_{X}) + 1) F (X)

$\big((xD_x)^2+(xD_x)+1\big)f(x)$ dónde

f (x)

$f(x)$ es la serie geométrica y

D_{x}

$D_x$ es la derivada wrt

x

$x$

¿Cuál es la idea de sumar esta serie de potencias?

david trono

jair taylor

David G. Cigüeña

once-once

Respuestas (3)

David G. Cigüeña

Claudio Leibovici

yngabl

Resolver una ecuación formal en serie de potencias

Expansión binomial generalizada de (1+x)y(1+x)y\left(1+x \right)^{y}

Hallar la suma exacta de esta serie de potencias

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