¿Por qué no se puede usar la prueba de la razón para series geométricas?

La prueba habitual de la prueba de la razón es comparar la serie con una serie geométrica. Si

$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \alpha < 1,$$ entonces nosotros tenemos $$|a_{n+1}| < |a_n| \alpha$$ para todos lo suficientemente grande $n$. Entonces se sigue de un argumento de inducción que $$|a_{n+k}| < |a_n| \alpha^k$$ para $n$suficientemente grande, lo que significa que $$\sum_{j=1}^{\infty} |a_j| = \sum_{j=1}^{n-1} |a_j| + \sum_{j=n}^{\infty} |a_j| \le \sum_{j=1}^{n-1} |a_j| + \sum_{k=0}^{\infty} |a_n| \alpha^k.$$ La primera serie tiene solo un número finito de términos y, por lo tanto, es finita, y la segunda serie es geométrica y, por lo tanto, converge por algún otro argumento. De esto se sigue que si $$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, \qquad\text{then}\qquad \sum_{j=1}^{\infty} a_j$$ converge (mediante la prueba de comparación de límites, por ejemplo). La otra desigualdad en la prueba de la razón se puede argumentar observando que el término general no llega a cero, y la incertidumbre en 1 se puede argumentar considerando (por ejemplo) el armónico y la serie armónica alterna.

El punto clave es que demostramos que la prueba de la razón implica la convergencia de series en comparación con una serie geométrica convergente. Dado que la prueba de la razón se basa en esta convergencia, es circular argumentar que una serie geométrica converge por la prueba de la razón (a menos, por supuesto, que tenga otra prueba para la prueba de la razón que no use la convergencia de series geométricas ).

Si bien se podría usar la prueba de la razón para establecer la convergencia de una serie geométrica (¡no hay nada que nos detenga!), por lo general es de mal estilo confiar en argumentos circulares, ya que puede (potencialmente) llevar a pasar por alto hipótesis importantes o casos excepcionales. Esto es particularmente importante en un entorno pedagógico, cuando los estudiantes pueden no ser completamente conscientes de la línea de razonamiento que conduce a un resultado (es difícil hacer un seguimiento de todos los lemas, teoremas y demostraciones que conducen a un resultado). si es la primera vez que ha tenido que tratar con ellos).

Además, no veo por qué alguien querría usar la prueba de la razón para mostrar que una serie geométrica converge. Básicamente, no se necesita ningún cálculo para mostrar que una serie geométrica converge, mientras que se necesitan un par de pasos de cálculo para invocar la prueba de la razón.

No podemos estar seguros (a menos que el contexto de las notas que ha omitido diga algo sobre el tema), pero los diversos comentarios que aparecen en este tema sugieren una explicación.

Dos actividades principales en las que se involucran los matemáticos (y las personas que usan las matemáticas) son:

• Usar herramientas matemáticas para hacer cálculos y probar cosas
• Diseñar y validar las herramientas matemáticas utilizadas en el punto anterior

La prueba de la razón es un ejemplo de una herramienta matemática de este tipo y es perfectamente aplicable a las series geométricas. Incluso puede ser la herramienta preferible para decidir cuándo converge una serie geométrica, simplemente para reducir la cantidad de cosas que uno necesita recordar.

Sin embargo, si se encuentra en el proceso de validación de la prueba de la razón, no sería válido usar la prueba de la razón para justificar ninguno de los hechos que necesita, como cuando las series geométricas convergen, en su validación. Primero tendría que derivar los hechos sobre las series geométricas de alguna otra manera.

En cuanto a sus notas, las explicaciones más probables son:

• Estás leyendo notas sobre cómo validar la prueba de la razón
• Has malinterpretado las notas.
  • Posiblemente debido a que el autor no logró transmitir su significado.
• El autor de estas notas estaba confundido.

Para profundizar en ese último punto, las personas a menudo se quedan atrapadas en la mentalidad de "construcción de herramientas". Una buena parte de la educación matemática implica validar las herramientas con las que uno ya está familiarizado, lo que requiere suspender temporalmente el uso de esas herramientas para que podamos ver cómo se pueden construir a partir de herramientas más básicas, y a veces las personas aprenden la lección equivocada y piensan que eso es algo que siempre tienes que hacer.

Entonces, cuando los hechos sobre la convergencia de las series geométricas en la prueba de la razón, esto a veces lleva a las personas a pensar erróneamente que cada vez que surge el tema de la convergencia de las series geométricas, uno debe suspender el uso de la prueba de la razón y argumentar desde más. herramientas básicas.

El criterio de la razón no es inadmisible para series geométricas. Sus hipótesis no excluyen series geométricas, por lo tanto aplica, y su demostración debe sustentar esto.

Una estructura de prueba común sería:

Teorema A: La serie geométrica converge. Prueba: argumento directo.

Teorema B: Prueba de razón con hipótesis usuales. Prueba: demuestre que esto está implícito en el teorema A como en la respuesta de Xander Henderson .

Por supuesto, la prueba del Teorema A no puede usar el Teorema B, de lo contrario tenemos un argumento circular. Sin duda esto es lo que tus notas intentan decir.

Sin embargo , una vez que tenemos una prueba válida del Teorema B, ciertamente se aplica a series geométricas:

Teorema C: La serie geométrica converge. Demostración: teorema B.

Esta prueba del teorema C puede parecer absurdamente indirecta: ¿por qué no citamos simplemente el teorema A? Bueno, considera:

Teorema D: algún otro teorema cuyas hipótesis implican las del criterio de la razón. Demostración: Teorema B.

Sería muy molesto y, lo que es más importante, innecesario escribir en su lugar:

Teorema D: algún otro teorema cuyas hipótesis implican las del criterio de la razón. Demostración: Si la serie es geométrica, entonces vea el Teorema A. De lo contrario, se aplica el Teorema B.

Una vez que tengamos una prueba válida de la prueba de la razón , se puede aplicar a cualquier serie si satisface las hipótesis, incluidas las series geométricas. No importa cómo se probó la prueba de la razón. Esto no es de ninguna manera un razonamiento circular , incluso si la prueba utilizada da como resultado series geométricas. La idea del razonamiento circular es una falacia lógica, pero eso no es lo que se está haciendo aquí. No estamos asumiendo lo que estamos tratando de probar. De hecho, si se nos permite asumir el enunciado$A$porque nos es dado, entonces la prueba de$A$es inmediata a partir de nuestra suposición dada. Este no es un razonamiento circular porque se nos permite explícitamente usar declaraciones$A$que de alguna manera se nos da para usar.

El OP proporcionó un enlace a las notas del curso que dicen 'No podemos probar que una serie geométrica$\sum r^k$es convergente/divergente aplicando el Test de la Razón. ¿Por qué no?" Ese es un argumento convincente, ¿no es así? A pesar de que las hipótesis para la "Prueba de la razón de D'Alembert" se satisfacen con cualquier serie geométrica positiva.