Expresión para la distancia de máxima aproximación en Schwarzschild Geodesics

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Expresión para la distancia de máxima aproximación en Schwarzschild Geodesics

Alan Romero

El artículo de Wikipedia Problema de dos cuerpos en la relatividad general utiliza dos variables de escala de longitud, $a$ y $b$ , para simplificar las matemáticas. Para obtener información sobre estos, considere estas declaraciones del artículo:

Son constantes del movimiento y dependen de las condiciones iniciales (posición y velocidad) de la partícula de prueba.

y

Aquí, b puede interpretarse como la distancia de máxima aproximación.

Aparecen primero en esta ecuación:

{(\frac{d r}{d φ})}^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - (1 - \frac{r_{s}}{r}) (\frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2})

$\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)$

Algunos de los requisitos matemáticos previos se pueden encontrar en otros artículos, y particularmente en geodésicas de Schwarzschild , donde en la sección de órbitas de partículas de prueba dan dos ecuaciones que aparentemente definen $a$ y $b$ .

(1 - \frac{r_{s}}{r}) (\frac{d t}{d τ}) = \frac{a}{b}

$\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{dt}{d\tau} \right) = \frac{a}{b}$

r^{2} (\frac{d φ}{d τ}) = a C

$r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right) = a c$

Mi primer problema es que no entiendo cómo estos definen $a$ y $b$ . Como implica una cita anterior, deben ser calculables dadas las condiciones iniciales de una partícula de prueba, no depender de derivadas dinámicas como implican las ecuaciones anteriores. Volvamos al artículo de dos cuerpos. Menciona lo siguiente en el texto, lo que implica la expresión directa de $a = h/c$ .

El potencial efectivo V se puede reescribir en términos de la longitud a = h/c

Si bien no se define en ese artículo, otros artículos sobre el tema dan una definición consistente de $h$ . Aquí, $L$ es el momento angular y $\mu$ es la masa reducida. Dado que solo estamos tratando con una partícula de prueba con poca masa en comparación con el agujero negro, la masa reducida es su masa.

h = L / m = L / metro

$h = L/ \mu = L / m$

Si no lo quieres, ni siquiera tenemos que incluir la masa de la partícula. Denotemos el momento angular como $L = \vec{r} \times m \vec{v}$ , por lo que podemos escribir lo siguiente. Esto también implica una interpretación de que $a$ es el momento angular relativo específico en el sistema unitario geometrizado .

h = \vec{r} \times \vec{v}

$h = \vec{r} \times \vec{v}$

a = (\vec{r} \times \vec{v}) / C

$a = (\vec{r} \times \vec{v}) / c$

Esto es aún más complicado de lo necesario, ya que la mayor parte del trabajo en la página de dos cuerpos considera que el movimiento está en un solo plano, lo que eliminaría la notación vectorial. Para completar esta pregunta, déjame explicarte que solo resolvería para $b$ de la expresión conocida de $a$ usando una de las ecuaciones que he publicado, pero no tengo suficiente información. Puedo ver que sería necesario tener una expresión relacionada $d \phi$ y $d \tau$ , así que busqué en la información de las geodésicas de Schwarzschild para esto, no puedo encontrarlo, y sospecho que se debe a las simplificaciones introducidas para hacer matemáticas para una partícula de prueba.

En resumen, tenemos una interpretación para $b$ y una ecuación explícita para $a$ . ¿Qué es una ecuación explícita para $b$ ?

usuario10851

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/52315/10851 (más las respuestas que la pregunta, ya que definen

b

$b$ por el camino)

Respuestas (2)

Expresión para la distancia de máxima aproximación en Schwarzschild Geodesics

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/52315/10851 (más las respuestas que la pregunta, ya que definen $b$ por el camino)

qmecanico · Answer 1

Wikipedia dice:

Aquí, $b$ puede interpretarse como la distancia de máxima aproximación.

Sí, pero esa interpretación en Wikipedia está hecha para partículas sin masa con un acercamiento más cercano mucho más grande que el radio de Schwarzschild. $r_s$ . En general esa interpretación no es cierta.

Por otro lado, las ecuaciones anteriores de OP (v1) son para partículas masivas , así que centrémonos en el caso masivo a continuación.

Como escribe OP

a C = h = \frac{L}{{metro}_{0}}

$ac~=~h~=~\frac{L}{m_0}$ es el momento angular específico

h

$h$ . En general,

b = C \frac{L}{mi} = \frac{{metro}_{0} C}{mi} h = a \frac{{metro}_{0} C^{2}}{mi}

$b~=~c\frac{L}{E}~=~\frac{m_0c}{E}h~=~a\frac{m_0c^2}{E}$

es la relación entre el momento angular (específico) y la energía (específica) multiplicada por la velocidad de la luz. Las cantidades $L$ y $E$ son constantes de movimiento, que a su vez reflejan (algunas de) las simetrías de Killing de la métrica de Schwarzschild.

La ecuación para la distancia más cercana al agujero negro se puede deducir de la ecuación geodésica radial

\frac{1}{C^{2}} {(\frac{d r}{d τ})}^{2} = {(\frac{mi}{{metro}_{0} C^{2}})}^{2} - (1 - \frac{r_{s}}{r}) ({(\frac{a}{r})}^{2} + 1)

$\frac{1}{c^2}\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \left(\frac{E}{m_0c^2}\right)^{2} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \left(\frac{a}{r}\right)^2 + 1 \right)$

para una partícula masiva en el plano ecuatorial poniendo

\frac{d r}{d τ} = 0

$\frac{dr}{d\tau}~=~0$

y resolver esta ecuación de tercer orden para $r$ .

Referencias:

S. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, Capítulo 7, p.172-179. El archivo pdf está disponible en su sitio web .

Me tomó un tiempo procesarlo, pero esta es una buena respuesta. Todas las constantes en la ecuación de movimiento resultante están llenas. Si entiendo, esta ecuación diferencial puede dar la posición radial como una función del tiempo local. Esto es suficiente para identificar todo en el artículo de dos cuerpos.

nerviosxxx · Answer 2

Usted mencionó que las constantes "no deberían depender de derivadas dinámicas como implican las ecuaciones anteriores". Bueno, esta particular combinación de derivadas dinámicas se conserva.

Por ejemplo, tomemos una pelota atada a una cuerda que se mueve en un círculo con velocidad constante. $v_x$ y $v_y$ son dinámicos, es decir, cambian en el tiempo, pero la combinación $\frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2)$ no. Esto pasa a ser la energía de la pelota, por cierto. ¡Así que una constante de movimiento bien podría depender de las variables dinámicas!

Ahora volvamos a la geodésica de Schwarzschild. La métrica de Schwarzschild tiene cuatro vectores Killing. Dos de los vectores Killing implican que una partícula se moverá en un plano, por lo que siempre podemos elegir $\theta = \pi/2$ , mientras que los otros dos vectores Killing son $K^\mu = (1,0,0,0)$ y $R^\mu = (0,0,0,1)$ .

Ahora bien, si tenemos un vector Killing, lo siguiente se conserva a lo largo de una geodésica: $K_\mu U^\mu$ dónde $U^\mu = dx^\mu/d\tau$ . $K$ , un vector Killing similar al tiempo, da la conservación de la energía,

\begin{aligned} mi = - k_{m} \frac{d X^{m}}{d τ} = (1 - r_{s} / r) \frac{d t}{d τ}, \end{aligned}

$\begin{align} E = -K_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau} = (1 - r_s/r)\frac{dt}{d\tau}, \end{align}$ dónde

E

$E$ es la energía por unidad de masa, pero que Wikipedia ha llamado

a / b

$a/b$ .

Para $R$ tenemos conservación del momento angular,

\begin{aligned} L = R_{m} \frac{d X^{m}}{d τ} = r^{2} \frac{d φ}{d τ}, \end{aligned}

$\begin{align} L = R_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau} = r^2 \frac{d\varphi}{d\tau}, \end{align}$ que Wikipedia ha llamado

a

$a$ (Lo puse

c = 1

$c = 1$ ).

$E$ y $L$ , o equivalente $a$ y $b$ , se obtienen a partir de condiciones iniciales, como bien has dicho. Entonces de ahí es de donde vienen. (¿Por qué definir $a$ y $b$ ? De modo que hay algún significado físico para ellos. Según wikipedia $b$ es la 'distancia de máxima aproximación' y $a$ es el momento angular por unidad de masa, como ha señalado)

Entonces, para responder a su pregunta sobre una 'ecuación explícita' para $b$ ... es exactamente como lo has escrito. Simplemente conecte las condiciones iniciales y salga $a$ y $b$ .

Por ejemplo, digamos que una partícula parte del reposo desde el infinito y cae sobre una geodésica radial... esto significa que $d\varphi/d\tau|_{r = \infty} = 0$ lo que implica $a = 0$ , y también significa que $(1-r_s/r)|_{r = \infty} = 1$ y $dt/d\tau|_{r=\infty} = 1$ , lo que implica $b = a$ de modo que $a/b$ se interpreta como igual a 1.

Expresión para la distancia de máxima aproximación en Schwarzschild Geodesics

Alan Romero

usuario10851

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qmecanico

Alan Romero

nerviosxxx

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