Potencial efectivo en relatividad general

Question

Potencial efectivo en relatividad general

Ernesto López Funé

Quisiera aclarar un concepto sobre el Potencial Efectivo en Relatividad General cuando el término de energía cinética no es unitario.

Supongamos (en coordenadas esféricas) uno tiene un elemento de línea genérico de la forma

d s^{2} = - {mi}^{v (r)} d t^{2} + {mi}^{- v (r)} F (r) d r^{2} + r^{2} d Ω^{2}

$ds^{2}=-e^{\nu(r)}dt^{2}+e^{-\nu(r)}f(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}$

ser $d\Omega^{2}=d\theta^{2}+\sin^{2}\theta\;d\phi^{2}$ el elemento de ángulo sólido habitual, y las funciones $\nu(r)$ y $f(r)$ son funciones continuas que dependen solo de la coordenada radial $r$ , tal que si $r\gg r_{0}$ , ser $r_{0}$ alguna escala de longitud específica: $f(r\gg r_{0})=1$ .

Para una partícula masiva, que se mueve libremente en dicho espacio-tiempo, la ecuación de conservación de energía se escribe como

\frac{1}{2} {mi}^{2} = \frac{1}{2} F (r) {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} {mi}^{v (r)} (1 + \frac{L^{2}}{r^{2}}) .

$\dfrac{1}{2}E^{2}=\dfrac{1}{2}f(r)\;\dot{r}^{2}+\dfrac{1}{2}e^{\nu(r)}\left(1+\dfrac{L^{2}}{r^{2}}\right).$

Cómo leer desde aquí el potencial efectivo $V_{\text{eff}}(r)$ dado que el término cinético no es unitario debido a la presencia del factor $f(r)$ ?

qmecanico

Comentario a la pregunta (v1): se puede demostrar que las ecuaciones de Einstein en el vacío implican que la función

f (r)

$f(r)$ es una constante independiente de

r

$r$ , resolviendo así la pregunta de OP dentro de los sectores vacíos del espacio-tiempo.

Ernesto López Funé

@Qmechanic gracias por los comentarios, pero estoy preguntando en general. Supongamos que uno tiene que describir el estado de movimiento de una partícula masiva genérica que se mueve libremente en ese espacio-tiempo, donde la métrica se mide con el elemento de línea dado. Este es un típico problema geométrico que no implica ninguna teoría de la gravedad, al menos a priori.

Respuestas (1)

Potencial efectivo en relatividad general

Comentario a la pregunta (v1): se puede demostrar que las ecuaciones de Einstein en el vacío implican que la función $f(r)$ es una constante independiente de $r$ , resolviendo así la pregunta de OP dentro de los sectores vacíos del espacio-tiempo.
@Qmechanic gracias por los comentarios, pero estoy preguntando en general. Supongamos que uno tiene que describir el estado de movimiento de una partícula masiva genérica que se mueve libremente en ese espacio-tiempo, donde la métrica se mide con el elemento de línea dado. Este es un típico problema geométrico que no implica ninguna teoría de la gravedad, al menos a priori.

Vacío · Answer 1

La respuesta es simplemente que no todo espacio-tiempo tiene un potencial efectivo correspondiente en el sentido de que tenemos una coordenada $x$ tal que $\dot{x}=\sqrt{2(E-V_{eff})}$ .

Pero esto es cierto incluso en la mecánica newtoniana, considere un problema con un Lagrangiano

L = \frac{metro}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2}) - V (φ)

$L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(\varphi)$ Obviamente,

p_{r} \equiv m \dot{r}

$p_r\equiv m \dot{r}$ es una integral de movimiento, y el movimiento resultante es efectivamente unidimensional, pero no seremos capaces de expresar

\dot{φ}

$\dot{\varphi}$ como

\sim \sqrt{E - V_{e f f}}

$\sim \sqrt{E - V_{eff}}$ , más bien obtendremos

\dot{φ} = \frac{\sqrt{2 (mi - V_{mi F F})}}{r}

$\dot{\varphi}= \frac{\sqrt{2(E-V_{eff})}}{r}$ dónde

V_{e f f} = p_{r}^{2} / (2 m) + V (φ)

$V_{eff}=p_r^2/(2m) + V(\varphi)$ , y

E

$E$ es, por supuesto, el hamiltoniano conservado.

Aquí, la diferencia $E-V_{eff}$ se puede usar para investigar regiones permitidas de movimiento porque $r$ siempre es positivo.

Lo mismo es cierto en el ejemplo que mencionas, al menos si la función $f(r)$ siempre es positivo. Puede definir un potencial efectivo como $\mathcal{V}_{eff} = e^\nu(1 + L^2/r^2)$ , y su velocidad radial será entonces

\dot{r} = \sqrt{\frac{{mi}^{2} - V_{mi F F}}{F (r)}}

$\dot{r} = \sqrt{\frac{E^2 - \mathcal{V}_{eff}}{f(r)}}$ es decir, trazando

E^{2} - V_{e f f}

$E^2 - \mathcal{V}_{eff}$ y al encontrar dónde está por encima de cero, podrá saber las regiones de movimiento permitidas para la partícula. (Los extremos de

V_{e f f}

$\mathcal{V}_{eff}$ también le dará órbitas circulares, etc.)

Sin embargo, la moraleja es que en la relatividad (o para las geodésicas en las variedades de Lorentz, si lo desea) el concepto de potencial efectivo se vuelve cada vez más frágil y convencional. Para ver cómo se puede introducir el concepto de potencial efectivo en el caso más complicado del espacio-tiempo de Kerr, recomiendo los capítulos respectivos de Misner, Thorne y Wheeler.

Potencial efectivo en relatividad general

Ernesto López Funé

qmecanico

Ernesto López Funé

Respuestas (1)

Vacío

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