Corchetes de Poisson en el espacio-tiempo curvo

Ha pasado un tiempo desde que preguntaste esto, pero lo intentaré.

Los mayores problemas en el espacio-tiempo curvo son definir exactamente lo que quiere decir con un hamiltoniano y lo que quiere decir con un corchete de Poisson.

Digamos que estás tratando con un campo escalar real$\phi$que minimiza alguna acción

$$W = \int_{\mathcal{M}}\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi,x) d^4 x$$

que es la integración de un Lagrangiano de densidad escalar$\mathcal{L}$sobre un múltiple$\mathcal{M}$. Desde aquí tiene varias opciones: puede intentar foliar el colector en superficies$\Sigma(t)$y obtenga un momento específico, un hamiltoniano y un corchete de Poisson definido por cantidades en estas superficies... o puede decir que aún no quiere comprometerse con una foliación. Para cualquier superficie Cauchy$\Sigma$podemos definir un impulso$\pi_\Sigma:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}$como una densidad escalar

$$\pi_\Sigma = n_\mu\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}$$

dónde$n_\mu$es la normal que apunta al futuro de$\Sigma$. Tenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_\mu \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}$$

(nota la$\partial_\mu$es equivalente a usar un$\nabla_\mu$aquí, porque la divergencia covariante de una densidad es lo mismo que la divergencia coordinada).

El espacio de todos los campos que minimizan$W$, llámalo$\mathscr{V}_W$, es un espacio de dimensión infinita, pero no es necesariamente un espacio de Banach, particularmente si las ecuaciones de movimiento no son lineales en$\phi$(es decir, si el Lagrangiano no es cuadrático). Asumiremos que es cuadrático para este ejemplo simple, pero generalmente tendrías que ver el espacio$\mathscr{V}_W$como una variedad de dimensión infinita, y definir cosas como la forma simpléctica en los espacios tangentes de Banach de esta variedad.

Si la variedad satisface ciertos requisitos de hiperbolicidad, entonces conociendo los valores de$\phi$y su impulso$\pi_\Sigma$sobre una superficie de Cauchy$\Sigma$nos permite integrar las ecuaciones de movimiento y determinar$\phi$en todo el múltiple. Así, para una superficie dada$\Sigma$,$\phi$y$\pi_\Sigma$actúan como coordenadas para nuestra variedad infinita$\mathscr{V}_W$.

Ahora, para tener un corchete de Poisson, necesitas una forma simpléctica$\omega:\mathscr{V}_W\times\mathscr{V}_W\rightarrow\mathbb{R}$. Esto debe ser no degenerado y antisimétrico. Resulta que, para cualquier superficie$\Sigma$,

$$\omega[\phi_1,\phi_2] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}(\phi_1 \pi_{\Sigma,2} - \phi_2 \pi_{\Sigma,1})d^3 x$$

dónde$G_\Sigma$es el determinante de la 3-métrica en$\Sigma$y$g$es el determinante de la métrica 4 en$\mathcal{M}$, es tal forma. Es independiente de la superficie.$\Sigma$de integración , que se puede ver usando el teorema de Stokes y aplicando las ecuaciones de movimiento.

Así, el valor de la forma simpléctica$\omega(\phi_1,\phi_2)$para dos campos es independiente de cómo elegimos foliar.

Ahora, volvamos a nuestra declaración anterior sobre$\phi$y$\pi_\Sigma$siendo coordenadas. Esto significa que si tengo algo funcional real$\mathcal{F}[\phi]$, puedo definir una derivada en términos de esos dos conjuntos de coordenadas. Específicamente, en un campo dado$\phi\in\mathscr{V}_W$, existe una derivada variacional$\delta \mathcal{F}_\phi:\mathscr{V}_W\rightarrow\mathbb{R}$que es un mapa lineal y se puede escribir como

$$\delta\mathcal{F}_\phi[\psi] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta\phi(x)}\psi(x) + \frac{\delta\mathcal{F}}{\delta\pi_\Sigma(x)}\pi_{\Sigma,\psi}(x)\right) d^3 x$$

De la misma manera que las formas simplécticas se combinan con derivadas en variedades simplécticas finitas para obtener un corchete de Poisson (no repetiré todo el proceso aquí; se está haciendo tarde y necesito dormir un poco :-)), ahora podemos definir el Poisson paréntesis de dos funcionales$\mathcal{F},\mathcal{G}$como

$$\{\mathcal{F},\mathcal{G}\} = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta\phi(x)}\frac{\delta \mathcal{G}}{\delta\pi_\Sigma(x)} - \frac{\delta\mathcal{F}}{\delta\pi_\Sigma(x)}\frac{\delta \mathcal{G}}{\delta\phi(x)}\right) d^3 x$$

Esto es como$\omega$, es independiente de la superficie de integración (que se sigue directamente de$\omega$la independencia).

Bueno. Así que hemos hecho mucho hasta ahora sin arreglar ninguna foliación o coordenadas en la variedad. Esto es bonito. Sin embargo, para obtener un análogo estricto de la fórmula hamiltoniana, debemos elegir alguna foliación. En su lugar, podemos ver un ejemplo más general. Dejar$\xi^\mu$sea ​​algún campo vectorial que represente una deformación de la variedad; es decir, estamos cambiando coordenadas y transformando los campos como

$$x^\mu \mapsto x^\mu + \epsilon\xi^\mu$$ $$\phi \mapsto \phi - \epsilon\xi^\mu\partial_\mu\phi$$

dónde$\epsilon$es un número muy pequeño (la transformación del impulso es más complicada, ya que$\xi^\mu$podría atraer superficies a otras superficies, lo que significa que estamos en transición entre diferentes funciones de momento. Nuevamente, seré perezoso por ahora y lo dejaré fuera). Además, nos limitaremos a los campos$\xi^\mu$que dejan la acción invariante. ¡Ahora podemos invocar el Teorema de Noether!

Definir el funcional

$$H_\xi[\phi] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\pi_\Sigma \delta_\xi \phi - n_\mu \xi^\mu \mathcal{L}\right)d^3 x$$

dónde$\delta_\xi \phi = - \xi^\mu \partial_\mu \phi$. Esta funcional se conserva (independientemente de$\Sigma$) por el teorema de Noether. Entonces se da el caso (otra vez, somnoliento, sin pruebas) de que

$$\{\phi,H_\xi\} = \xi^\mu \partial_\mu \phi$$

que es el análogo de espacio-tiempo curvo a su pregunta.