¿Cuándo heredan los corchetes de Poisson de las funciones espaciales de fase la estructura del álgebra de Lie de una simetría?

La idea básica es la siguiente. En aras de la simplicidad, de ahora en adelante supondré que cada función no depende explícitamente del tiempo (con un poco de esfuerzo, todo podría generalizarse tratando con un haz de fibras adecuado sobre el eje del tiempo cuyas fibras son espacios de fases en el tiempo).$t$). en un simpléctico$2n$variedad dimensional (un espacio de fases),$(M, \omega)$, dónde$\omega$es la forma simpléctica de 2, primero define el campo vectorial hamiltoniano$X_f$asociado a una función suave$f: M \to \mathbb R$como el único campo vectorial tal que:

$$\omega(X_f, \cdot) = df\:.\tag{1}$$ La definición está bien planteada porque$\omega$no es degenerado por hipótesis.$\omega$también es antisimétrica y cerrada por hipótesis, por lo tanto debido a un teorema debido a Darboux, en un atlas adecuado que siempre existe$\omega = \sum_{i=1}^n dq^i \wedge dp_i$. En esta foto recuperas el estandarte$q-p$formulación de la mecánica hamiltoniana.

A continuación, tiene el corchete de Poisson de dos funciones suaves definidas como

$$\{f, g\}:= \omega(X_f,X_g)\:.\tag{2}$$

El grupo (generalmente local) de un parámetro de difeomorfismos generados por$X_f$resulta estar hecho de transformaciones canónicas en el sentido estándar de la mecánica hamiltoniana.$f$se dice que es el generador hamiltoniano de esa transformación. Utilizando el atlas de Darboux, es decir, las coordenadas,$q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_n$, tanto las ecuaciones de Hamilton como los corchetes de Poisson asumen la forma estándar más familiar para los físicos.

Si$H$es una función preferida$f$llamada función hamiltoniana , las rectas integrales de$X_H$no son más que la solución de las ecuaciones de Hamilton.

Con esta definición resulta que, si$[\:.,\:.]$es el conmutador estándar de campos vectoriales,

$$[X_f,X_g] = X_{\{f,g\}}\:.\tag{3}$$

Como consecuencia inmediata de (3), se ve que si$\{f,H\}=0$, entonces las rectas integrales de$X_H$sigue siendo líneas integrales de$X_H$también bajo la acción del grupo generado por$X_f$. En este caso tienes una simetría dinámica. Además, de (1) y (2),

$$X_H(f) = \{f,H\}$$ de modo que$\{f,H\}=0$también implica que$f$es invariante bajo el flujo hamiltoniano, es decir, es una constante de movimiento .

El hecho de que$f$es una constante de movimiento y que genera transformaciones (canónicas) que preservan la evolución del sistema son hechos equivalentes.

Esta fantástica equivalencia no se sostiene dentro de la formulación lagrangiana de la mecánica.

En este escenario, suponga que el$N$grupo de mentira dimensional$G$actúa libremente sobre$M$en términos de difeomorfismos biyectivos. Los parámetros uno del grupo definen grupos correspondientes de un parámetro de difeomorfismos cuyos generadores tienen la misma álgebra de Lie que la de$G$. Así que si$e_1,\ldots, e_n$es una base de$\mathbb g$(el álgebra de mentira de$G$), con

$$[e_i,e_j] = \sum_{k=1}^N c^k_{ij}e_k$$ correspondientemente encuentra, para los campos vectoriales asociados que definen los correspondientes grupos de difeomorfismos de un parámetro $$[X_i,X_j] = \sum_k c^k_{ij}X_k\:.$$

Supongamos que finalmente cada$X_i$Se puede escribir como$X_{f_i}$para una función suave correspondiente$f_i : M \to \mathbb R$. En este caso, el grupo de difeomorfismos de un parámetro generado por$X_f$es un grupo de un parámetro de transformaciones canónicas . (Esto sucede automáticamente cuando la acción de$G$conserva la forma simpléctica.) En consecuencia,

$$X_{\{f_i,f_j\}} = [X_{f_i},X_{f_j}] = \sum_k c^k_{ij}X_{f_k}\:.$$ Usando el hecho de que los frenos de Poisson son bilineales: $$X_{\{f_i,f_j\} - \sum_k c^k_{ij}f_k} =0$$ y así, desde$f \mapsto X_f$es inyectiva hasta una constante aditiva a$f$, $$\{f_i,f_j\} = q_{ij} +\sum_k c^k_{ij}f_k$$ las constantes$q_{ij}$generalmente aparecen, en algún momento (como sucede si$G=SO(3)$) puede reabsorberlos en la definición de la$f_i$que, a su vez, se definen hasta constantes aditivas. (Es un problema co-homológico dependiendo de$G$).

En esta respuesta consideraremos un álgebra de Lie $L$(en lugar de un grupo de Lie ). Después:

1. Si$M$es una variedad , sea un homomorfismo del álgebra de Lie

   $$L~~\stackrel{\rho}{\longrightarrow}~~ \Gamma(TM)\tag{1}$$ en el álgebra de Lie de campos vectoriales en$M$. El mapa$\rho$se llama ancla .

2. Si el múltiple$(M,\{\cdot,\cdot\}_{PB})$es una variedad de Poisson , es natural requerir que los campos vectoriales$X\in {\rm Im}(\rho)$preservar la estructura de Poisson

   $${\cal L}_X\{f,g\}_{PB}~=~ \{{\cal L}_Xf,g\}_{PB}+\{f,{\cal L}_Xg\}_{PB}.\tag{2}$$

3. Tenga en cuenta que el álgebra de Poisson $(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB})$de funciones suaves en una variedad de Poisson es un álgebra de Lie de dimensión infinita.

4. Tenga en cuenta que el mapa
   

   $$\begin{align} C^{\infty}(M)~\ni ~h~~\mapsto~ X_h~\equiv~&\{h,\cdot\}_{PB}\cr~\in~&\Gamma(TM) \end{align}\tag{3}$$ de funciones suaves a campos vectoriales hamiltonianos es un homomorfismo del álgebra de Lie $$(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB})~~\longrightarrow~~(\Gamma(TM),[\cdot,\cdot]_{LB}). \tag{4}$$ Los campos vectoriales hamiltonianos conservan automáticamente la estructura de Poisson del punto 2.

5. Exijamos adicionalmente que todos los campos vectoriales$X\in {\rm Im}(\rho)$son campos vectoriales hamiltonianos $X_h$.

6. Tenga en cuenta que la elección de hamiltoniano$h\in C^{\infty}(M)$para un campo vectorial hamiltoniano$X$no es único [Para una variedad simpléctica conexa , el hamiltoniano$h$es único hasta una constante.]

7. Supongamos además que existe un mapa lineal

   $$L ~\ni~\xi~~\stackrel{\tilde{\mu}}{\mapsto}~~h_{\xi}~\in~C^{\infty}(M)\tag{5}$$ que hace que el siguiente diagrama sea conmutativo $$\begin{array}{ccc} L & ~\stackrel{\tilde{\mu}}{\longrightarrow} & C^{\infty}(M) \cr &\rho \searrow~ & \downarrow X \cr && \Gamma(TM), \end{array}\tag{6}$$ es decir $$\forall \xi~\in~L:~~ \rho(\xi)~=~X_{h_{\xi}}.\tag{7}$$

8. Uno puede mostrar que el mapa

   $$\begin{align} \Lambda^2L ~\ni~\xi_1\wedge\xi_2~~\stackrel{P}{\mapsto}~&~ \{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB}~\cr \equiv~&X_{h_{\xi_1}}[h_{\xi_2}] \cr~\in~&C^{\infty}(M)\end{align}\tag{8}$$ es entonces un 2-cocycle $$\begin{align}\sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}& P([\xi_1,\xi_2]\wedge\xi_3)\cr ~\stackrel{(8)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}X_{h_{[\xi_1,\xi_2]}}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}\rho([\xi_1,\xi_2])[h_{\xi_3}] \cr ~\stackrel{(1)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}[\rho(\xi_1),\rho(\xi_2)]_{LB}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}[X_{h_{\xi_1}},X_{h_{\xi_2}}]_{LB}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}X_{\{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB}}[h_{\xi_3}]\cr ~\equiv~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}\{\{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB},h_{\xi_3}\}_{PB}\cr ~=~&0. \end{align} \tag{9}$$

9. Exijamos además que el mapa$\tilde{\mu}: \xi\mapsto h_{\xi}$debe ser un homomorfismo del álgebra de Lie

   $$(L,[\cdot,\cdot])~~ \stackrel{\tilde{\mu}}{\longrightarrow}~~(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB}). \tag{10}$$ Esto es equivalente a que el 2-cocycle$P$debe ser un 2-coboundary $$P(\xi_1\wedge\xi_2)~=~h_{[\xi_1,\xi_2]}.\tag{11}$$ Puede haber una obstrucción de 2 cociclos/anomalía clásica que lo impida.

10. En caso afirmativo, el mapa$\tilde{\mu}$se llama acción hamiltoniana. El mapa dual$\mu:M\to L^{\ast}$se llama mapa de momentos .

¡Gran pregunta!

Una forma de ver lo que está pasando es usar la versión hamiltoniana del teorema de Noether. El procedimiento de Noether genera una carga conservada$Q$asociado a la simetría con parámetro$\theta$. Resulta que$Q$es el generador de esa simetría, en el sentido de que para alguna función$A$de las variables del espacio de fase

$$\begin{equation} \{A,Q\} = \frac{\partial A}{\partial\theta} \end{equation}$$

De hecho, la prueba no es difícil (hazlo para el caso en que el momento no cambia bajo la simetría,$\delta_\theta p =0, \delta_\theta q \neq 0$). Simplemente toma la definición de la carga de Noether y enchufa y traga.

Ahora digamos que tengo algún grupo de simetría no abeliana$G$con generadores$T^a$. Asociada con cada generador hay una carga conservada$Q^a$. ¿Cómo actúan las cargas entre sí? ¡Debe ser otra transformación de simetría!

$$\begin{equation} \{Q^a,Q^b\} = \frac{\partial Q^a}{\partial \theta^b} = \frac{\partial Q^b}{\partial \theta^a} = f^{abc} Q^c \end{equation}$$ donde el $f^{abc}$son las constantes de estructura del grupo (hasta los posibles factores faltantes de $i$o $2$).

Un enunciado relacionado es el Teorema de Frobenius. La idea es que un conjunto de campos vectoriales sea integrable solo si su álgebra se cierra. Las transformaciones de simetría del sistema deberían dejar el sistema dentro de alguna subvariedad en el espacio de fase, y así el conjunto de campos vectoriales asociados con los generadores de simetría deberían ser integrables. Así debería cerrarse el álgebra de los generadores.