Cuando estoy leyendo un libro de texto de matemáticas, tiendo a saltarme la mayoría de los ejercicios. Generalmente no me gustan los ejercicios, particularmente los artificiales. En cambio, me concentro en comprender las demostraciones de teoremas, proposiciones, lemas, etc.
A veces trato de probar un teorema antes de leer la demostración. A veces trato de encontrar una prueba diferente. A veces trato de encontrar un ejemplo o un contraejemplo. A veces trato de generalizar un teorema. A veces se me ocurre una pregunta y trato de responderla.
Creo que esos son buenos "ejercicios" para mí.
EDITAR Lo que creo que es un muy buen "ejercicio" es el siguiente:
(1) Trate de probar un teorema antes de leer la prueba.
(2) Si no tienes idea para probarlo, échale un vistazo a la prueba.
(3) Continuar tratando de demostrarlo.
(4) Cuando esté atascado, eche un vistazo a la prueba.
(5) Repite (3) y (4) hasta que encuentres una prueba.
EDITAR Otro método que recomiendo en lugar de hacer ejercicios de "tipo tarea": intenta escribir un "libro de texto" sobre el tema. No tienes que escribir uno real. Traté de hacer esto en la teoría de Galois. De hecho, publiqué "notas de clase" sobre la teoría de Galois en un foro de matemáticas en Internet. Creo que mi conocimiento y habilidad sobre el tema aumentaron considerablemente.
Por ejemplo, encontré esto mientras escribía "notas de clase" sobre la teoría de Galois. También pude probar que cualquier grupo profinito es un grupo de Galois. Este hecho fue mencionado en la teoría algebraica de números de Neukirch. Más tarde descubrí que Bourbaki tenía este problema como ejercicio. Sin embargo, no entiendo su sugerencia. Más tarde encontré que alguien escribió un artículo sobre este problema. Hice otros pequeños "descubrimientos" durante el curso. Planeaba escribir una "nota de conferencia" sobre la teoría de Galois de Grothendieck. Este es un plan atractivo, pero aún no se ha iniciado.
EDITAR Si quieres tener ejercicios, ¿por qué no producirlos tú mismo? Cuando estás aprendiendo un tema, naturalmente surgen preguntas. Algunos de estos pueden ser buenos ejercicios. Al menos tienes la motivación que no te dan los demás. No es tarea. Por ejemplo, se me ocurrió la siguiente pregunta cuando estaba aprendiendo geometría algebraica. Descubrí que este era un buen problema.
Dejar ser un campo. Dejar Sea un álgebra conmutativa finitamente generada sobre . Dejar . Determinar .
Como escribí, tratar de encontrar ejemplos o contraejemplos también puede ser un buen ejercicio. Por ejemplo, este es un buen ejercicio en la teoría de álgebras de división.
EDITAR Déjame mostrarte otro ejemplo de autoejercicios. Encontré el siguiente problema cuando estaba escribiendo una "nota de clase" sobre la teoría de Galois.
Dejar ser un campo. Dejar sea una clausura algebraica separable de . Dejar ser el grupo de Galois de .
Dejar ser un álgebra de dimensión finita sobre . Si es isomorfo a un producto de campos, cada uno de los cuales es separable en , se llama álgebra etale finita. Dejar ser la categoría de álgebra etale finita sobre .
Dejar sea un conjunto finito. Suponer actúa sobre continuamente. se llama finito -colocar. Dejar ser la categoría de finito -conjuntos.
Entonces es anti-equivalente a .
Esta es una versión de dimensión cero del teorema principal de la teoría de Galois de Grothendieck. Puede encontrar la prueba en otro lugar, pero le recomiendo que la pruebe usted mismo. No es difícil y es un buen ejercicio de la teoría de Galois. Sugerencia : redúzcalo al caso de que es una extensión separable finita de y X es un transitivo finito -colocar.
EDITAR Si cree que esta es una pregunta demasiado amplia, puede agregar las condiciones adecuadas. Esta es una pregunta suave.
Si tu meta es convertirte en un matemático investigador, entonces es importante hacer ejercicios. Por supuesto, habrá una rara persona que pueda saltarse ejercicios sin detrimento de su desarrollo, pero (y hablo desde la experiencia de aproximadamente veinte años de participación en la capacitación para la investigación matemática) esas personas son genuinamente raras.
Los otros tipos de ejercicios que describes también son buenos, ¡y deberías hacerlos también!
El objetivo de hacer ejercicios establecidos es practicar el uso de técnicas particulares, para que pueda reconocer cómo y cuándo usarlas cuando se enfrenta a obstáculos técnicos en su investigación.
En mi propio campo, dos libros cuyos ejercicios recomiendo habitualmente a mis alumnos son el texto de geometría algebraica de Hartshorne y el texto de curvas elípticas de Silverman . Los ejercicios al final de Cassels y Frolich también son buenos.
Atiyah and MacDonald también es conocida por sus ejercicios.
Un enfoque posible (aunque no recomendado para todo el mundo) es posponer la realización de los ejercicios si los encuentra demasiado difíciles (o si consumen demasiado tiempo, pero esto suele equivaler a demasiado difícil), pero retomarlos más tarde cuando sienta que los necesita. comprender mejor el tema. Sin embargo, si al regresar, todavía no puede resolver fácilmente los ejercicios estándar sobre un tema que cree que conoce bien, probablemente no conozca el tema tan bien como cree.
Si su objetivo no es convertirse en un matemático investigador, entonces la comprensión probablemente tenga un significado y un propósito diferente, y su pregunta posiblemente tendrá una respuesta diferente, que no soy la persona adecuada para dar.
Depende del libro de texto, supongo. Algunos libros de texto introducen mucho material en los ejercicios que no se desarrolla en el texto principal.
Creo que el punto más importante en matemáticas es pensar en el tema durante largos períodos de tiempo. Si piensas en las matemáticas, a menudo desarrollarás la intuición, que es muy importante. Por supuesto, si piensas en algo durante largos períodos de tiempo, tu memoria del material también es mejor.
En última instancia, el punto es que las personas generalmente aprenden más haciendo (compare el aprendizaje activo con el aprendizaje pasivo). Por supuesto, hay excepciones a cada regla y usted es la persona que mejor comprende sus propias fortalezas y debilidades. El punto importante es identificar sus debilidades y trabajar duro en ellas a través de una combinación de pensamiento activo y resolución de problemas.
Por supuesto, esto es totalmente subjetivo y depende de tu inteligencia y memoria. Sospecho que la mayoría de las personas en este sitio tienen un alto nivel en ambas áreas, al menos en lógica/matemáticas.
Comprender los teoremas y trabajar con ellos como usted explicó es una muy buena manera de comprender el material, especialmente si puede tenerlo en cuenta cuando sea necesario. Los ejercicios suelen ser repetitivos, pero también pueden brindarle un contexto en el que puede/debe aplicar los teoremas.
Por lo tanto, no hacer ejercicios no es un requisito, pero hacer algunos es una buena idea tanto para confirmar que entiendes el material como para ayudar a memorizar ese material. Dicho esto, no sugeriría hacer los primeros ejercicios (en la mayoría de los libros de texto son los más fáciles), sino elegir algunos en el medio o algunos cuya respuesta o cómo resolverlos no sea obvio para usted. Por lo general, los que están hacia el final de una sección son difíciles, extensos o ambos. Hacer algunos de ellos puede valer la pena, pero algunos pueden ser largos y dispersos y, en última instancia, no valen la pena.
Esta es solo mi experiencia con los libros de texto de matemáticas, pero solo llegué al nivel de pregrado, por lo que no sé qué tan cierto es esto en los niveles superiores.
Absolutamente no puedes decir que entiendes algo hasta que lo resuelves.
Estoy con el OP en esto, también me salteo los ejercicios.
Aquí está la lógica: una verdadera comprensión de las matemáticas se trata de ser creativo en sus aplicaciones y no solo del material en sí mismo.
Los ejercicios, por definición, sofocan la creatividad al presentar una caja de arena en la que pensar.
Es un poco como Rocky 3, ¿aprendes tu oficio haciendo ejercicio en un gimnasio o levantando troncos en el bosque?
...y otra cosa, creo que seguir ejemplos en libros conduce a matemáticas degeneradas. Perpetúan estilos particulares de pensar acerca de los problemas.
anthonyquas
Zev Chonoles
Rankeya
makoto kato
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Dilip sarwate
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